MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 53 – Resuelto 0

Pregunta 1) Resuelve: 3x – 1 – (x – 4) – [2(x – 3)(1 – 2)] = x + 2

Respuesta:
Paso 1: Evaluar operaciones internas: calcular (1-2).
Paso 2: (1-2)= -1, entonces 2(x-3)(1-2)=2(x-3)(-1)= -2(x-3).
Paso 3: Sustituyo en la ecuación: 3x – 1 – (x – 4) – [ -2(x-3)] = x + 2.
Paso 4: Eliminar corchetes: -[ -2(x-3)] = +2(x-3). Queda: 3x – 1 – (x – 4) + 2(x-3) = x + 2.
Paso 5: Aplicar la distributiva en los paréntesis: 3x – 1 – x + 4 + 2x – 6 = x + 2.
Paso 6: Sumar términos semejantes en el lado izquierdo: (3x – x + 2x) = 4x y (-1 + 4 – 6) = -3. Queda 4x – 3 = x + 2.
Paso 7: Pasar x al lado izquierdo y constantes al derecho: 4x – x = 2 + 3.
Paso 8: 3x = 5, entonces x = 5/3.
Resultado final: \( \boxed{\tfrac{5}{3}} \)

Pregunta 2) Resuelve: \(\dfrac{2(x+1)}{5} – \dfrac{3(x-1)}{10} = \dfrac{7x+1}{10}\)

Respuesta:
Paso 1: Identificar denominadores: 5 y 10. El mcm es 10. Multiplico toda la ecuación por 10 para eliminar denominadores.
Paso 2: Multiplicando: \(10\cdot \dfrac{2(x+1)}{5} – 10\cdot \dfrac{3(x-1)}{10} = 10\cdot \dfrac{7x+1}{10}\).
Paso 3: Mostrar cancelaciones: \(10\cdot \dfrac{2(x+1)}{5}=\dfrac{\cancel{10}}{\cancel{5}}\cdot 2(x+1)=2\cdot 2(x+1)=4(x+1)\).
Paso 4: \(10\cdot \dfrac{3(x-1)}{10}=\dfrac{\cancel{10}}{\cancel{10}}\cdot 3(x-1)=3(x-1)\).
Paso 5: Lado derecho: \(10\cdot \dfrac{7x+1}{10}=7x+1\). Queda: 4(x+1) – 3(x-1) = 7x + 1.
Paso 6: Aplicar distributiva: 4x + 4 – 3x + 3 = 7x + 1.
Paso 7: Combinar términos: x + 7 = 7x + 1.
Paso 8: Pasar 7x al lado izquierdo y 7 al derecho: x – 7x = 1 – 7.
Paso 9: -6x = -6, por tanto x = 1.
Resultado final: \( \boxed{1} \)

Pregunta 3) Resuelve: \(\dfrac{x(x-2)}{2} – \dfrac{(x-4)(x-7)}{2} = 22\)

Respuesta:
Paso 1: Los dos términos del lado izquierdo tienen el mismo denominador 2, los puedo agrupar: \(\dfrac{x(x-2) – (x-4)(x-7)}{2} = 22\).
Paso 2: Multiplico ambos lados por 2 para eliminar el denominador: \(x(x-2) – (x-4)(x-7) = 44\).
Paso 3: Aplicar la distributiva en cada producto: \(x(x-2)=x^2 – 2x\).
Paso 4: \((x-4)(x-7)=x^2 -7x -4x +28 = x^2 -11x +28\).
Paso 5: Sustituyo y resto: \(x^2 – 2x – (x^2 -11x +28) = 44\).
Paso 6: Eliminar paréntesis y combinar: \(x^2 – 2x – x^2 + 11x – 28 = 44\) => \(9x – 28 = 44\).
Paso 7: Sumar 28 a ambos lados: \(9x = 72\).
Paso 8: Dividir por 9: \(x = 8\).
Resultado final: \( \boxed{8} \)

Pregunta 4) Resuelve: \(\dfrac{x+2}{12} = \dfrac{5x}{2}\)

Respuesta:
Paso 1: Para eliminar denominadores multiplico por 12 (mcm de 12 y 2).
Paso 2: Multiplico: \(12\cdot \dfrac{x+2}{12} = 12\cdot \dfrac{5x}{2}\).
Paso 3: Lado izquierdo: \(\dfrac{\cancel{12}}{\cancel{12}}(x+2)=x+2\). Lado derecho: \(12\cdot \dfrac{5x}{2}=\dfrac{\cancel{12}}{\cancel{2}}\cdot 5x =6\cdot 5x =30x\).
Paso 4: Queda la ecuación: x + 2 = 30x.
Paso 5: Pasar x al lado derecho: 2 = 30x – x = 29x.
Paso 6: Dividir por 29: x = 2/29.
Resultado final: \( \boxed{\tfrac{2}{29}} \)

Pregunta 5) Responde: ¿Cómo diferencias una ecuación de una inecuación?

Respuesta:
Paso 1: Observa el símbolo que relaciona las expresiones.
Paso 2: Si el símbolo es el signo de igualdad =, es una ecuación, y busca valores que hagan iguales ambos miembros (a menudo soluciones puntuales).
Paso 3: Si el símbolo es una desigualdad (>, <, ≥, ≤), es una inecuación, y su solución suele ser un conjunto o intervalo de valores que cumplen la desigualdad.
Resultado final: Una ecuación usa ‘=’; una inecuación usa signos de desigualdad y sus soluciones son intervalos o conjuntos.