MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 54 – Resuelto 0

Pregunta 1) Resuelve: 4(x − 3) − 8 ≤ 5 − x

Respuesta:
Paso 1: Aplico la distributiva en el primer miembro.
4(x-3)-8 = 4x -12 -8
Paso 2: Simplifico términos semejantes.
4x -12 -8 = 4x -20
Paso 3: Escribo la inecuación con las expresiones simplificadas.
4x -20 ≤ 5 – x
Paso 4: Paso las x al primer miembro y números al segundo sumando x y sumando 20 a ambos lados.
4x + x ≤ 5 + 20
Paso 5: Sumo y simplifico.
5x ≤ 25
Paso 6: Divido por 5 (positivo, no cambia la desigualdad).
x ≤ 5
Resultado final: \( \boxed{x \le 5} \)

Pregunta 2) Resuelve: 16x + (5 − x) > 30

Respuesta:
Paso 1: Quito paréntesis y agrupo términos semejantes.
16x + (5 – x) = 16x + 5 – x = 15x + 5
Paso 2: Escribo la inecuación con la expresión simplificada.
15x + 5 > 30
Paso 3: Resto 5 en ambos miembros.
15x > 25
Paso 4: Divido por 15 (positivo).
x > \(\frac{25}{15}\) = \(\frac{5}{3}\) (simplificando por 5).
Resultado final: \( \boxed{x > \tfrac{5}{3}} \)

Pregunta 3) Resuelve: (8x + 1)(x − 7) ≥ (2x − 3)(4x + 5)

Respuesta:
Paso 1: Aplico la multiplicación de binomios en ambos miembros.
(8x+1)(x-7) = 8x\cdot x + 8x\cdot(-7) + 1\cdot x + 1\cdot(-7) = 8x^2 -56x + x -7 = 8x^2 -55x -7
(2x-3)(4x+5) = 2x\cdot4x + 2x\cdot5 -3\cdot4x -3\cdot5 = 8x^2 +10x -12x -15 = 8x^2 -2x -15
Paso 2: Planteo la inecuación con las expansiones.
8x^2 -55x -7 ≥ 8x^2 -2x -15
Paso 3: Resto 8x^2 en ambos miembros para eliminar los términos cuadráticos.
\(\cancel{8x^2}\) -55x -7 ≥ \(\cancel{8x^2}\) -2x -15
Queda: -55x -7 ≥ -2x -15
Paso 4: Paso los términos en x al primer miembro sumando 2x, y los números al segundo sumando 7.
-55x + 2x ≥ -15 + 7
Paso 5: Simplifico.
-53x ≥ -8
Paso 6: Divido por -53 (número negativo), INVIERTO la desigualdad.
x ≤ \(\frac{-8}{-53}\) = \(\frac{8}{53}\).
Resultado final: \( \boxed{x \le \tfrac{8}{53}} \)

Pregunta 4) Resuelve: x(x + 10) > (x − 4)^2

Respuesta:
Paso 1: Expando ambos lados.
x(x+10) = x^2 + 10x
(x-4)^2 = x^2 -8x +16
Paso 2: Planteo la inecuación con las expansiones.
x^2 + 10x > x^2 -8x +16
Paso 3: Resto x^2 en ambos miembros para simplificar.

\(\cancel{x^2}\) + 10x > \(\cancel{x^2}\) -8x +16
Queda: 10x > -8x +16
Paso 4: Paso -8x al primer miembro sumando 8x a ambos lados.
10x + 8x > 16
Paso 5: Simplifico.
18x > 16
Paso 6: Divido entre 18 (positivo) y simplifico la fracción por 2.
x > \(\frac{16}{18}\) = \(\frac{8}{9}\).
Resultado final: \( \boxed{x > \tfrac{8}{9}} \)

Pregunta 5) ¿Porqué se los llama conjunto de los números racionales y cuál es la diferencia con los irracionales?

Respuesta:
Paso 1: Definición de racionales.
Los números se llaman racionales porque pueden escribirse como ratio (fracción) \(\frac{a}{b}\) con enteros \(a,b\) y \(b\neq0\).
Paso 2: Característica decimal de los racionales.
Sus decimales son finitos (por ejemplo 5,84 = \(\frac{146}{25}\)) o periódicos (por ejemplo 0,2222… = \(\frac{2}{9}\)).
Paso 3: Definición de irracionales.
Los irracionales no pueden escribirse como fracción de enteros; sus decimales son no periódicos y no terminan, por ejemplo \(\pi\) o \(\sqrt{2}\).
Resultado final: \( \boxed{\text{Racionales = fracciones/decimales finitos o periódicos; Irracionales = no fracciones, decimales no periódicos}} \)

Pregunta 6a) Ubicar y clasificar: 24; −11; −\(\tfrac{27}{3}\); 0; 5,84; −\(\tfrac{3}{10}\)

Respuesta:
Paso 1: Simplifico fracciones y decimales.
−\(\tfrac{27}{3}\) = −9
5,84 = 5.84 = \(\tfrac{146}{25}\) (decimal finito)
−\(\tfrac{3}{10}\) = -0.3
Paso 2: Clasifico cada número.
24: entero y racional.
−11: entero y racional.
−9: entero y racional.
0: entero y racional.
5.84: decimal finito, racional.
−0.3: decimal finito, racional.
Paso 3: Orden aproximado en la recta (de izquierda a derecha menor a mayor):
\( -11,\ -9,\ -0.3,\ 0,\ 5.84,\ 24 \).
Resultado final: \( \boxed{\text{Todos son racionales; orden: } -11,-9,-0.3,0,5.84,24} \)

Pregunta 6b) Ubicar y clasificar: \(\tfrac{3}{2}\); −\(\sqrt{5}\); \(\sqrt{121}\); −\(\tfrac{7}{3}\)

Respuesta:
Paso 1: Calculo o simplifico valores.
\(\tfrac{3}{2}\) = 1.5 (racional).
−\(\sqrt{5}\) ≈ -2.236… (irracional, porque \(\sqrt{5}\) no es cuadrado perfecto).
\(\sqrt{121}\) = 11 (121 es cuadrado perfecto) (racional entero).
−\(\tfrac{7}{3}\) ≈ -2.333… (racional).
Paso 2: Orden en la recta de menor a mayor (usando las aproximaciones):
−\(\tfrac{7}{3}\) (≈ -2.333), −\(\sqrt{5}\) (≈ -2.236), 1.5, 11.
Paso 3: Clasificación resumida:
\(\tfrac{3}{2},\ -\tfrac{7}{3},\ \sqrt{121} \) son racionales; \( -\sqrt{5} \) es irracional.
Resultado final: \( \boxed{\text{Orden: } -\tfrac{7}{3},\ -\sqrt{5},\ \tfrac{3}{2},\ 11;\ -\sqrt{5}\text{ irracional}} \)

Pregunta 6c) Ubicar y clasificar: \(\pi\); −3; \(\tfrac{3}{5}\); −\(\tfrac{28}{7}\); \(\sqrt{9}\); 0; 0,22222…

Respuesta:
Paso 1: Simplifico y convierto a decimales cuando convenga.
−\(\tfrac{28}{7}\) = -4
\(\sqrt{9}\) = 3
\(\tfrac{3}{5}\) = 0.6 (racional)
0,22222… (si es repetido 0.2222… = 0.\overline{2} = \(\tfrac{2}{9}\), racional)
\(\pi\) ≈ 3.14159… (irracional)
Paso 2: Orden en la recta (menor a mayor):
-4, -3, 0, 0.2222…, 0.6, 3, \(\pi\) (≈3.1416).
Paso 3: Clasificación breve:
-4 y -3 son enteros (racionales). 0 es racional. 0.2222… periódica = \(\tfrac{2}{9}\) racional. 0.6 racional. 3 racional. \(\pi\) irracional y está a la derecha de 3.
Resultado final: \( \boxed{\text{Orden: } -4,-3,0,0.2222…,0.6,3,\pi;\ \pi\text{ irracional}} \)