MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 56 – Resuelto 0

Antes del grupo 1)

Regla (suma y resta de términos): $$ax+b=cx+d\Rightarrow (a-c)x=d-b.$$

Pregunta a) Resuelve: \(4-2x=3x-14\)

Respuesta:
Paso 1: Aplico la regla para ecuaciones lineales: $$4-2x=3x-14.$$
Paso 2: Paso todos los términos con \(x\) a la derecha restando \(3x\) en ambos miembros:
\(4-2x-3x=3x-14-3x\).
Paso 3: Simplifico términos semejantes: \(4-5x=-14\).
Paso 4: Paso el 4 al otro miembro restando 4: \(-5x=-14-4\).
Paso 5: Simplifico: \(-5x=-18\).
Paso 6: Divido ambos miembros por \(-5\): \(x=\dfrac{-18}{-5}=\dfrac{18}{5}\).
Resultado final: \(\boxed{\dfrac{18}{5}}\)

Antes del grupo 2)

Regla (sumar fracciones): $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}.$$

Pregunta b) Resuelve: \(x+\dfrac{3}{2}-2x+\dfrac{3}{7}=\dfrac{4}{3}x\)

Respuesta:
Paso 1: Agrupo términos semejantes en el miembro izquierdo:
\( (x-2x)+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{4}{3}x\).
Paso 2: Simplifico \(x-2x=-x\): \( -x+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{4}{3}x\).
Paso 3: Sumo las fracciones \(\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{3\cdot7+3\cdot2}{14}=\dfrac{21+6}{14}=\dfrac{27}{14}\).
Paso 4: Ahora la ecuación es \( -x+\dfrac{27}{14}=\dfrac{4}{3}x\).
Paso 5: Paso el término \( -x\) al miembro derecho restando \(\dfrac{27}{14}\) en ambos miembros o sumando \(x\) a ambos: \( \dfrac{27}{14}=\dfrac{4}{3}x+x\).
Paso 6: Sumo los coeficientes de \(x\): \(\dfrac{4}{3}x+x=\left(\dfrac{4}{3}+1\right)x=\dfrac{4}{3}+\dfrac{3}{3}=\dfrac{7}{3}x\).
Paso 7: Queda \(\dfrac{27}{14}=\dfrac{7}{3}x\).
Paso 8: Despejo \(x\) dividiendo por \(\dfrac{7}{3}\): \(x=\dfrac{27}{14}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{27\cdot3}{14\cdot7}=\dfrac{81}{98}\).
Resultado final: \(\boxed{\dfrac{81}{98}}\)

Antes del grupo 3)

Regla (eliminar denominadores con el mcm): Multiplica ambos miembros por el mcm de los denominadores para obtener una ecuación sin fracciones.

Pregunta c) Resuelve: \(\dfrac{3x-2}{4}-\dfrac{5x-1}{3}=\dfrac{2x-7}{6}\)

Respuesta:
Paso 1: Multiplico ambos miembros por el mcm de 4, 3 y 6 que es 12:
\(12\left(\dfrac{3x-2}{4}-\dfrac{5x-1}{3}\right)=12\left(\dfrac{2x-7}{6}\right)\).
Paso 2: Aplico la multiplicación término a término usando cancelaciones:
\(12\cdot\dfrac{3x-2}{4}=\dfrac{\cancel{12}}{\cancel{4}}(3x-2)=3(3x-2)\).
\(12\cdot\dfrac{5x-1}{3}=\dfrac{\cancel{12}}{\cancel{3}}(5x-1)=4(5x-1)\).
\(12\cdot\dfrac{2x-7}{6}=\dfrac{\cancel{12}}{\cancel{6}}(2x-7)=2(2x-7)\).
Paso 3: Sustituyo en la ecuación: \(3(3x-2)-4(5x-1)=2(2x-7)\).
Paso 4: Expando los paréntesis: \(9x-6-20x+4=4x-14\).
Paso 5: Agrupo términos semejantes en el lado izquierdo: \( (9x-20x)+(-6+4)= -11x-2\).
Paso 6: Igualo con el derecho: \(-11x-2=4x-14\).
Paso 7: Paso los términos de \(x\) al mismo lado restando \(4x\): \(-11x-4x-2=-14\) \(\Rightarrow -15x-2=-14\).
Paso 8: Paso el -2 sumando 2 a ambos miembros: \(-15x=-14+2=-12\).
Paso 9: Divido por -15: \(x=\dfrac{-12}{-15}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}\) (simplificando por 3).
Resultado final: \(\boxed{\dfrac{4}{5}}\)

Antes del grupo 4)

Regla (ecuaciones racionales y fórmula cuadrática): Multiplica por el producto de los denominadores para eliminar fracciones; si queda un polinomio de segundo grado, aplica la fórmula cuadrática $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Pregunta d) Resuelve: \(\dfrac{2x}{x+1}+2=\dfrac{1}{x-1}\)

Respuesta:
Paso 1: Determino el dominio: los denominadores no pueden ser 0, por tanto \(x\neq -1\) y \(x\neq 1\).
Paso 2: Multiplico ambos miembros por el producto \((x+1)(x-1)\) para eliminar denominadores:
\((x+1)(x-1)\left(\dfrac{2x}{x+1}+2\right)=(x+1)(x-1)\cdot\dfrac{1}{x-1}\).
Paso 3: Simplifico término a término:
\((x+1)(x-1)\cdot\dfrac{2x}{x+1}=2x(x-1)\).
\((x+1)(x-1)\cdot 2=2(x+1)(x-1)=2(x^2-1)\).
\((x+1)(x-1)\cdot\dfrac{1}{x-1}=x+1\).
Paso 4: Escribo la ecuación resultante: \(2x(x-1)+2(x^2-1)=x+1\).
Paso 5: Expando los términos: \(2x^2-2x+2x^2-2=x+1\).
Paso 6: Agrupo términos semejantes: \(4x^2-2x-2=x+1\).
Paso 7: Paso todo a un lado para obtener la forma estándar: \(4x^2-2x-2-x-1=0\Rightarrow 4x^2-3x-3=0\).
Paso 8: Aplico la fórmula cuadrática con \(a=4,\ b=-3,\ c=-3\):
Discriminante \(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4(4)(-3)=9+48=57\).
Paso 9: Soluciones:\\
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3\pm\sqrt{57}}{8}\).
Paso 10: Verifico que ninguna solución sea 1 o -1 (no lo son), por tanto son válidas.
Resultado final: \(\boxed{\dfrac{3+\sqrt{57}}{8}\;\text{y}\;\dfrac{3-\sqrt{57}}{8}}\)