MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 57 – Resuelto 0

Pregunta a) Resolver: \(x+\frac{2}{3}\le 2x+\frac{3}{4}\)

Respuesta:
Paso 1: Pasar los términos con \(x\) a un lado y los números al otro: restamos \(x\) en ambos lados.
Paso 2: \(\frac{2}{3}\le 2x+\frac{3}{4}-x\)
Paso 3: Simplificamos el lado derecho: \(2x-x=x\). Queda \(\frac{2}{3}\le x+\frac{3}{4}\).
Paso 4: Restamos \(\frac{3}{4}\) en ambos lados: \(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\le x\).
Paso 5: Hallamos la diferencia con denominador común \(12\): \(\frac{8}{12}-\frac{9}{12}= -\frac{1}{12}\).
Resultado final: \(\boxed{x\ge -\dfrac{1}{12}}\)

Pregunta b) Resolver: \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{x-2}{4}+\dfrac{x+3}{9}<3\)

Respuesta:
Paso 1: Usamos denominador común para sumar fracciones. Mínimo común múltiplo de 3,4,9 es 36.
Paso 2: Convertimos cada fracción a denominador 36: \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{12x}{36},\; \dfrac{x-2}{4}=\dfrac{9(x-2)}{36}=\dfrac{9x-18}{36},\; \dfrac{x+3}{9}=\dfrac{4(x+3)}{36}=\dfrac{4x+12}{36}\).
Paso 3: Sumamos numeradores: \(12x+(9x-18)+(4x+12)=12x+9x-18+4x+12=25x-6\). Entonces \(\dfrac{25x-6}{36}<3\).
Paso 4: Multiplicamos ambos lados por 36 (positivo, no cambia la desigualdad): \(25x-6<108\).
Paso 5: Sumamos 6: \(25x<114\).
Paso 6: Dividimos por 25 (positivo): \(x<\dfrac{114}{25}\).
Resultado final: \(\boxed{x<\dfrac{114}{25}}\)

Pregunta c) Resolver: \(\dfrac{3x}{6}+\dfrac{x-6}{3}\ge -2\)

Respuesta:
Paso 1: Simplificamos términos: \(\dfrac{3x}{6}=\dfrac{x}{2}\).
Paso 2: Es conveniente usar denominador común 6: \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{3x}{6},\; \dfrac{x-6}{3}=\dfrac{2(x-6)}{6}=\dfrac{2x-12}{6}\).
Paso 3: Sumamos las fracciones: \(\dfrac{3x+2x-12}{6}=\dfrac{5x-12}{6}\). Queda \(\dfrac{5x-12}{6}\ge -2\).
Paso 4: Multiplicamos por 6 (positivo): \(5x-12\ge -12\).
Paso 5: Sumamos 12: \(5x\ge 0\).
Paso 6: Dividimos por 5 (positivo): \(x\ge 0\).
Resultado final: \(\boxed{x\ge 0}\)

Pregunta d) Resolver: \(\dfrac{3x}{6}+\dfrac{2x+1}{6}-\dfrac{1}{2}\Bigl(27+\dfrac{5x}{15}\Bigr)<0\)

Respuesta:
Paso 1: Simplificamos las fracciones del primer sumando: juntamos las fracciones con denominador 6: \(\dfrac{3x}{6}+\dfrac{2x+1}{6}=\dfrac{3x+2x+1}{6}=\dfrac{5x+1}{6}\).
Paso 2: Dentro del paréntesis: \(\dfrac{5x}{15}=\dfrac{x}{3}\), entonces \(27+\dfrac{5x}{15}=27+\dfrac{x}{3}\).
Paso 3: Multiplicamos por \(\dfrac{1}{2}\): \(\dfrac{1}{2}\Bigl(27+\dfrac{x}{3}\Bigr)=\dfrac{27}{2}+\dfrac{x}{6}\).
Paso 4: Sustituimos en la desigualdad: \(\dfrac{5x+1}{6}-\Bigl(\dfrac{27}{2}+\dfrac{x}{6}\Bigr)<0\).
Paso 5: Agrupamos términos con denominador 6: \(\dfrac{5x+1}{6}-\dfrac{x}{6}-\dfrac{27}{2}=\dfrac{4x+1}{6}-\dfrac{27}{2}\).
Paso 6: Pasamos al mismo denominador 6: \(\dfrac{4x+1}{6}-\dfrac{27}{2}=\dfrac{4x+1}{6}-\dfrac{81}{6}=\dfrac{4x+1-81}{6}=\dfrac{4x-80}{6}\).
Paso 7: La desigualdad es \(\dfrac{4x-80}{6}<0\). Multiplicamos por 6 (positivo): \(4x-80<0\).
Paso 8: Sumamos 80: \(4x<80\). Dividimos por 4 (positivo): \(x<20\).
Resultado final: \(\boxed{x<20}\)