MATEMÁTICA – Educación General Básica – Subnivel Superior – Octavo de Básica – Pág 58 – Resuelto 0

Pregunta 1) (a) Un minero descendió verticalmente por una cueva subterránea 23 metros y se detuvo. Para llegar al fondo de la cueva, bajó tres veces la misma distancia. ¿Cuál es la profundidad de la cueva?

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: Si primero baja una distancia y luego baja tres veces la misma distancia, la profundidad total es la suma de la primera bajada más las tres bajadas iguales. $$ \text{profundidad} = 23 + 3\cdot 23 $$
Paso 2: Factorizo para simplificar: $$ 23 + 3\cdot 23 = 23\cdot(1+3) $$
Paso 3: Calculo la suma dentro del paréntesis: $$ 23\cdot(1+3)=23\cdot 4 $$
Paso 4: Multiplico: $$ 23\cdot 4 = 92 $$
Resultado final: \( \boxed{92} \)

Pregunta 2) (b) La siguiente tabla representa las temperaturas promedio de cuatro meses: Enero = 35 °C, Marzo = 20 °C, Mayo = -13 °C, Julio = -18 °C. Ordeno los meses de menor a mayor temperatura.

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: Para ordenar de menor a mayor comparo los valores numéricos (los negativos son menores que los positivos).
Paso 2: Listo los valores con sus signos: Enero = 35, Marzo = 20, Mayo = -13, Julio = -18.
Paso 3: Identifico el menor: entre los negativos, \(-18 < -13\). Por tanto el orden ascendente empieza por Julio (-18), luego Mayo (-13).
Paso 4: Entre los positivos, \(20 < 35\), así que siguen Marzo (20) y Enero (35).
Resultado final: \( \boxed{\text{Julio},\;\text{Mayo},\;\text{Marzo},\;\text{Enero}} \)

Pregunta 3) (c) Coloco los números del 1 al 9, sin repetir, de tal manera que las cuatro expresiones cumplan las igualdades. ¿Cuál es el máximo valor de (a+b)? (Las expresiones son: \(R_1=a-m\), \(R_2= p\div q\), \(R_3=b+n\) y \(R_1\times R_2=R_3\).)

Respuesta:
Paso 1: Regla usada: Se deben usar los dígitos 1..9 sin repetir y cumplir
$$R_1=a-m,\quad R_2=\frac{p}{q},\quad R_3=b+n,\quad R_1\times R_2=R_3.$$
Paso 2: Observación: todos los resultados y términos son dígitos 1..9 sin repetir. Como \(R_3=b+n\) y ambos son dígitos positivos, \(R_3\le 9\). Por tanto \(R_1\times R_2\le 9\).
Paso 3: Para maximizar \(a+b\) conviene intentar \(a\) grande (hasta 9) y \(b\) grande. Si \(b=8\) entonces \(n=1\) y \(R_3=9\), pero eso usa el 9 y entonces no podemos tomar \(a=9\). Mejor probamos \(a=9\) y buscamos el mayor \(b\) posible.
Paso 4: Intento \(a=9\). Entonces \(a-m=R_1\) implica \(m=9-R_1\). Como \(R_1\times R_2=R_3\) y \(R_3=b+n\le 9\), pruebo combinaciones que den \(R_3\le 9\). Busco \(b\) tan grande como sea posible; pruebo \(b=7\).
Paso 5: Si \(b=7\) para que \(b+n\le 9\) debe ponerse \(n=1\) (porque si \(n=2\) entonces \(R_3=9\) y usaría el 9 que ya ocupa \(a\)). Entonces \(b=7, n=1, R_3=8\).
Paso 6: Necesitamos \(R_1\times R_2=8\). Posibles pares \((R_1,R_2)\) con productos 8 son \((1,8),(2,4),(4,2),(8,1)\).
Paso 7: Como \(a=9\) entonces \(m=9-R_1\) debe ser un dígito distinto de los usados. Pruebo \(R_1=4\) que da \(m=5\) (5 aún libre). Entonces \(R_2\) debe ser 2 (porque \(4\times 2=8\)).
Paso 8: Para \(R_2=2\) necesito \(p\div q=2\) con dígitos disponibles. Quedan los dígitos 3 y 6 sin usar, y \(6\div 3=2\) cumple la condición. Así asigno \(p=6, q=3\).
Paso 9: Compruebo la lista completa de dígitos usados: a=9, m=5, R1=4, p=6, q=3, R2=2, b=7, n=1, R3=8. Todos los dígitos del 1 al 9 aparecen exactamente una vez.
Paso 10: Verificación de las igualdades: \(a-m=9-5=4=R_1;\; p\div q=6\div 3=2=R_2;\; b+n=7+1=8=R_3;\; R_1\times R_2=4\times 2=8=R_3.\)
Resultado final: \( \boxed{a+b=9+7=16} \) (una solución que alcanza este máximo es: a=9, m=5, R1=4, p=6, q=3, R2=2, b=7, n=1, R3=8.)