Página — Matematica 9° Secundaria (pág. 70)

Suma de los términos de una

progresión geométrica

Alberto compró 20 vacas. Por la primera pagó 1 milln, por la segunda pagó 2 millones, por la tercera 4millones, por la cuarta 8 millones y así sucesivamente.

Determina cuánto pagó Alberto en total.

En las progresiones geométricas también resulta interesante y práctico encontrar una expresión general que permita sumar sus términos.

Cómo calcular

S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}

cuando la sucesión es una progresión geométrica?

En una progresión geométrica la suma de sus n primeros términos es:

S=\frac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}\quad\mathrm{r}\neq1

Ejemplo

Al ejercitar un músculo, éste aumenta 3 milímetros el primer dia.

Además, el incremento de cada día es igual a 0.95 del incremento del dia anterior.

Cuál será el incremento total al final del día 18?

Solución

Evidentemente,r=0.95 , de modo que el término general es: a 0.95^{n-1}

Para obtener a sustituimos n=1 en el primer término: a 0.95^{1-1}=3\xrightarrow{\hspace*{2cm}}a=3

Por tanto, el término general es:3\times0.95^{n-1}

Para obtener el crecimiento total al final del día 18, sustituimos a=3,r=0.95y n=18 en la fórmula:

\frac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}\quad r\neq1,\quad\frac{3(0.95^{18}-1)}{0.95-1}=36.17mm

El incremento total del músculo al final del día 18 será: 36.17 mm.

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional



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Unidad 1. Conjunto de los números reales