Construcción del copo de nieve de Koch por iteraciones

Enunciado: La figura muestra las cuatro primeras etapas de la construcción (A, B, C, D), pero el proceso se puede seguir indefinidamente. ¿Cuántas veces más detallarías la figura?

1. Analizo el procedimiento: cada segmento se divide en tres partes iguales y la parte central se reemplaza por dos segmentos de la misma longitud que cada tercio, formando un ángulo de 60^\circ. Así, cada segmento se convierte en 4 segmentos.
2. Cuento los segmentos en cada etapa: en (A) hay 1 segmento; en (B) hay 4 segmentos; en (C) hay 16 segmentos, porque 4 \times 4 = 16; en la siguiente etapa habría 16 \times 4 = 64 segmentos, y así sucesivamente.
3. Observo la longitud: cada segmento nuevo mide \frac{1}{3} del segmento anterior, por eso la figura gana detalle sin salirse de su espacio.
4. Concluyo: como cada etapa puede aplicarse de nuevo sobre cualquier segmento, nunca se llega a un punto donde el proceso se detenga.

Respuesta orientativa: Detallaría la figura tantas veces como se quiera, es decir, indefinidamente: en cada repetición el número de segmentos se multiplica por 4 (1, 4, 16, 64, 256, \ldots) y el tamaño de cada segmento se reduce a \frac{1}{3}, de modo que siempre se puede añadir más detalle. Esta figura infinitamente detallada se llama fractal (curva o copo de nieve de Koch).