Enunciado: Determino ¿cuál es el valor tope de resistencia de un cable coaxial de impedancia 75\ \Omega usado para internet, sabiendo que el nodo de transmisiones debe encontrarse máximo a 50\ \text{m}, con diámetros de 10{,}5\ \text{mm}?

Identificación de datos

1. Impedancia característica del cable (dato descriptivo): Z_0 = 75\ \Omega.
2. Longitud máxima del tramo de cable: L = 50\ \text{m}.
3. Diámetro del conductor: d = 10{,}5\ \text{mm} = 0{,}0105\ \text{m}.
4. Resistividad del cobre (material estándar de los centros conductoras de cables coaxiales): \rho = 1{,}7 \times 10^{-8}\ \Omega \cdot \text{m} (equivalente a 0{,}017\ \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}).

Planteamiento

La resistencia de un conductor se calcula con la expresión:

R = \rho \, \frac{L}{A}

Resolución paso a paso

1. Se calcula la sección transversal del conductor, suponiendo sección circular:

A = \pi r^{2} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^{2} = \pi \left(\frac{10{,}5 \times 10^{-3}\ \text{m}}{2}\right)^{2}

r = 5{,}25 \times 10^{-3}\ \text{m}

A = \pi \left(5{,}25 \times 10^{-3}\right)^{2} = \pi \left(2{,}756 \times 10^{-5}\right) = 8{,}66 \times 10^{-5}\ \text{m}^{2}

R = \left(1{,}7 \times 10^{-8}\ \Omega \cdot \text{m}\right) \times \frac{50\ \text{m}}{8{,}66 \times 10^{-5}\ \text{m}^{2}}

R = \frac{8{,}5 \times 10^{-7}}{8{,}66 \times 10^{-5}} = 9{,}8 \times 10^{-3}\ \Omega

R = 9{,}8\ \text{m}\Omega

6. Verificación de coherencia: este valor es despreciable frente a la impedancia característica del cable, ya que 9{,}8 \times 10^{-3}\ \Omega \ll 75\ \Omega. Esto confirma que el tramo de 50\ \text{m} no degrada apreciablemente la impedancia de 75\ \Omega exigida para transmisión de internet; de hecho, cuanto mayor sea el diámetro, menor será la resistencia (el tope se cumple con holgura).

Observación sobre la impedancia del coaxial

Si el ejercicio se lee en clave de impedancia, la relación entre la impedancia característica y las dimensiones del coaxial es:

Z_0 = \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\!\left(\frac{D}{d}\right) \approx \frac{138}{\sqrt{\varepsilon_r}} \log_{10}\!\left(\frac{D}{d}\right)

con \varepsilon_r la permitividad relativa del dieléctrico (por ejemplo, \varepsilon_r = 2{,}25 para polietileno, \sqrt{\varepsilon_r} = 1{,}5). En este caso el dato de 10{,}5\ \text{mm} correspondería al diámetro externo D, y la relación D/d necesaria para 75\ \Omega sería \log_{10}(D/d) = \frac{75 \times 1{,}5}{138} = 0{,}82, es decir D/d \approx 6{,}6. El enunciado pide explícitamente la resistencia, por lo que la resolución principal aplica R = \rho L/A.