Hallar mediante la ley de Hubble la longitud de onda de la línea del potasio de 564 nm emitida por: a) una galaxia a 3\×10^6 a.l.; b) una galaxia a 10\×10^6 a.l.; c) la nebulosa de Orión a 2 170 a.l.

_a = 564,12 nm; _b = 564,40 nm; _c ≈ 564 nm

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Ley de Hubble y corrimiento al rojo de la línea del potasio (564 nm)

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Respuesta rápida

2.c) Con Lambda-CDM se explican el agujero negro (lente gravitacional y dilatación del tiempo) y la expansión acelerada que desplaza las líneas al rojo. 3.a) 564,12 nm. 3.b) 564,40 nm. 3.c) 564 nm (sin corrimiento apreciable).

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 258

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 2

c

Explicar dos sucesos de la película mediante el modelo estándar Lambda-CDM.

El modelo Lambda-CDM describe el universo como materia ordinaria + materia fría (CDM) + energía oscura (Lambda), que provoca una expansión acelerada del cosmos.
Suceso 1 (efectos cerca de un agujero negro): la película muestra un disco de acreción brillante y la desviación de la luz. En Lambda-CDM los agujeros negros gigantes se forman en el núcleo de galaxias a partir del colapso de estrellas y de la fusión de galaxias, y su gravedad curva el espacio-tiempo, produciendo la lente gravitacional y el anillo de luz observado.
Suceso 2 (dilatación temporal y expansión cósmica): cerca del agujero negro el tiempo transcurre más lento para el visitante que para quien queda en la nave. Además, la ley de Hubble $v = H_0 d$ explica que las galaxias lejanas se alejan; la energía oscura ( $\Lambda$ ) hace que esa velocidad aumente con el tiempo, de modo que la luz emitida hace eones llega con corrimiento al rojo, tal como se observa en el espectro de las galaxias distantes.

Respuesta orientativa: Con Lambda-CDM se explica (1) la formación de un agujero negro supermasivo cuya gravedad curva la luz y ralentiza el tiempo cerca de él, y (2) la expansión acelerada del universo, que aleja las galaxias y desplaza sus líneas espectrales hacia el rojo según la ley de Hubble.

Ejercicio 3

Hallar, mediante la ley de Hubble, la longitud de onda observada de la línea del potasio ( $\lambda_0 = 564 \\text{ nm}$ ) emitida por galaxias situadas a: a) $3\\times10^{6}$ años luz, b) $10\\times10^{6}$ años luz, c) la nebulosa de Orión ( $2\\,170$ años luz).

Datos y constantes

Ley de Hubble: $v = H_0 \, d$ , con $H_0 = 70 \\text{ km}\\cdot\\text{s}^{-1}\\cdot\\text{Mpc}^{-1}$ (valor estándar; si el libro usa otro, $v$ es directamente proporcional a $H_0$ ).
Conversión de distancia: $1 \\text{ pc} = 3{,}26 \\text{ a.l.}$ , luego $1 \\text{ Mpc} = 3{,}26 \\times 10^{6} \\text{ a.l.}$
Efecto Doppler relativista para recessiones lentas: $\\dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \dfrac{v}{c}$ , con $c = 3{,}00 \\times 10^{5} \\text{ km/s}$ .
Longitud de onda observada: $\lambda = \lambda_0 + \Delta \lambda$ .

Parte 3.a

$d = 3\\times10^{6}$ años luz

Convertir a Mpc: $d = \dfrac{3\\times10^{6} \\text{ a.l.}}{3{,}26\\times10^{6} \\text{ a.l./Mpc}} = 0{,}92 \\text{ Mpc}$ .
Velocidad de alejamiento: $v = H_0 d = 70 \\times 0{,}92 = 64{,}4 \\text{ km/s}$ .
Desplazamiento: $\Delta \lambda = \lambda_0 \dfrac{v}{c} = 564 \\text{ nm} \times \dfrac{64{,}4}{3{,}00\\times10^{5}} = 564 \\text{ nm} \times 2{,}15\\times10^{-4} = 0{,}12 \\text{ nm}$ .
$\lambda = 564 \\text{ nm} + 0{,}12 \\text{ nm} = 564{,}12 \\text{ nm}$ (corrimiento al rojo).

Respuesta

$\\lambda \\approx 564{,}12 \\text{ nm}$

Parte 3.b

$d = 10\\times10^{6}$ años luz

Convertir: $d = \dfrac{10^{7} \\text{ a.l.}}{3{,}26\\times10^{6} \\text{ a.l./Mpc}} = 3{,}07 \\text{ Mpc}$ .
$v = H_0 d = 70 \\times 3{,}07 = 214{,}6 \\text{ km/s}$ .
$\Delta \lambda = 564 \\text{ nm} \times \dfrac{214{,}6}{3{,}00\\times10^{5}} = 564 \\text{ nm} \times 7{,}16\\times10^{-4} = 0{,}40 \\text{ nm}$ .
$\lambda = 564 \\text{ nm} + 0{,}40 \\text{ nm} = 564{,}40 \\text{ nm}$ .

Respuesta

$\\lambda \\approx 564{,}40 \\text{ nm}$

Parte 3.c

Nebulosa de Orión, $d = 2\\,170$ años luz

Convertir: $d = \dfrac{2170 \\text{ a.l.}}{3{,}26\\times10^{6} \\text{ a.l./Mpc}} = 6{,}66\\times10^{-4} \\text{ Mpc}$ .
$v = H_0 d = 70 \\times 6{,}66\\times10^{-4} = 0{,}047 \\text{ km/s} = 46{,}6 \\text{ m/s}$ .
$\Delta \lambda = 564 \\text{ nm} \times \dfrac{0{,}047}{3{,}00\\times10^{5}} = 8{,}8\\times10^{-5} \\text{ nm}$ .
$\lambda = 564 \\text{ nm} + 8{,}8\\times10^{-5} \\text{ nm} \\approx 564{,}00 \\text{ nm}$ : el corrimiento es despreciable.

Nota: Orión está dentro de la Vía Láctea, por lo que no participa de la expansión cósmica; su movimiento es local y la ley de Hubble no aplica estrictamente.

Respuesta

$\\lambda \\approx 564 \\text{ nm}$ (sin corrimiento apreciable)

Contenido de la página

c) Explico dos sucesos de la película mediante el modelo estándar Lambda-CDM.

Hallo mediante la ley de Hubble, la longitud de onda de la línea del potasio 564 nm emitida por galaxias que se localizan a:

a) $3\\times10^{6}$ años luz de la Tierra.

b) $10\\times10^{6}$ años luz de la Tierra.

c) La nebulosa de Orión que está a 2 170 años luz.

(Pie de página: Texto de Física — 257)

Ejemplos resueltos

Hallar la longitud de onda observada de la línea de 564 nm en una galaxia a $3\\times10^{6}$ años luz.

$d = 3\\times10^{6}/3{,}26\\times10^{6} = 0{,}92$ Mpc; $v = 70\\times0{,}92 = 64{,}4$ km/s; $\\Delta\\lambda = 564\\times(64{,}4/3{,}00\\times10^{5}) = 0{,}12$ nm; $\\lambda = 564{,}12$ nm.

Tabla

Caso	Distancia (a.l.)	Distancia (Mpc)	v (km/s)	Δλ (nm)	λ observada (nm)
a)	3×10⁶	0,92	64,4	0,12	564,12
b)	10×10⁶	3,07	214,6	0,40	564,40
c)	2 170	6,66×10⁻⁴	0,047	8,8×10⁻⁵	≈ 564,00

Fórmulas y ecuaciones

v = $H_0$ d con $H_0$ = 70 km $s^{-1}$ $Mpc^{-1}$

$\Delta$ $\lambda$ = $\lambda_0$ $\dfrac{v}{c}$

v = $H_0$ $\$ , d

$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}$ = $\frac{v}{c}$

$\lambda$ = $\lambda_0$ $\left(1$ + $\frac{v}{c}$ $\right)$

1 $\text{ Mpc}$ = 3{,}26 $\times$ $10^{6}$ ext{ a.l.}

$\lambda_0$ = 564 $\text{ nm}$

Glosario (5)

Ley de Hubble: Relacion v = H0·d: la velocidad de alejamiento de una galaxia es proporcional a su distancia a la Tierra.
Corrimiento al rojo: Aumento de la longitud de onda de la luz cuando la fuente se aleja; las líneas del espectro se desplazan hacia el rojo.
Modelo Lambda-CDM: Modelo estándar del universo que incluye materia ordinaria, materia fría oscura (CDM) y energía oscura (Lambda) responsable de la expansión acelerada.
Año luz: Distancia que recorre la luz en un año: $9{,}46\\times10^{15}$ m; $1$ pc = 3,26 años luz.
Efecto Doppler: Cambio en la longitud de onda observada por el movimiento relativo entre fuente y observador: $\\Delta\\lambda/\\lambda_0 = v/c$.

Preguntas para practicar

c) Explico dos sucesos de la película mediante el modelo estándar Lambda-CDM.

Con Lambda-CDM se explica (1) la existencia de un agujero negro supermasivo cuya gravedad curva la luz (lente gravitacional, disco de acreción) y ralentiza el tiempo cerca de él, y (2) la expansión acelerada del universo provocada por la energía oscura, que aleja las galaxias y desplaza sus líneas espectrales hacia el rojo conforme a la ley de Hubble.

Temas y conceptos clave

Ley de HubbleCorrimiento al rojoEfecto DopplerModelo estándar Lambda-CDMconstante de Hubble H0velocidad de alejamientodesplazamiento espectral Δλenergía oscura (Lambda)materia fría (CDM)escala megaparsec

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