Enunciado. A partir de la película Interstellar ("El amor es el único que podemos percibir que transciende el tiempo y el espacio", Dra. Brand / Anne Hathaway), suponiendo que toda separación se expande según la constante de Hubble H_0 = 17\times10^{-3}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}\cdot\text{año luz}}:
- a) Determino qué porción de altura aumentará si una niña mide 1{,}50\,\text{m}.
- b) Respondo en qué porción se incrementaría la distancia entre la Tierra y Venus.
Constantes necesarias
1\,\text{año luz} = 9{,}461\times10^{15}\,\text{m},\qquad 1\,\text{año} = 3{,}156\times10^{7}\,\text{s}
— Aumento de altura
- La ley de Hubble es v = H_0\,d. El incremento fraccional por unidad de tiempo es la constante de Hubble expresada en \text{s}^{-1}:
\frac{1}{d}\frac{\mathrm{d}d}{\mathrm{d}t} = H_0 = \frac{17\times10^{-3}\ \text{m/s}}{9{,}461\times10^{15}\ \text{m}} = 1{,}797\times10^{-18}\ \text{s}^{-1}
- Expreso ese mismo porcentaje en un año:
1{,}797\times10^{-18}\ \text{s}^{-1} \times 3{,}156\times10^{7}\ \text{s/año} = 5{,}67\times10^{-11}\ \text{por año}
Es decir, cada año la "tela del espacio" se estira en un 5{,}67\times10^{-11}\%\cdot 100\approx 0{,}0000000057\% de cada separación. Equivalentemente: cada año aumenta el 5{,}67\times10^{-11} de cualquier longitud, o 1 parte por cada 1{,}76\times10^{10}.
- Para la niña de 1{,}50\,\text{m}, el aumento anual es:
\Delta h = 1{,}50\,\text{m} \times 5{,}67\times10^{-11} = 8{,}51\times10^{-11}\,\text{m/año}
- Comprobación con v = H_0d: v = 1{,}50\,\text{m}\times1{,}797\times10^{-18}\,\text{s}^{-1} = 2{,}70\times10^{-18}\,\text{m/s}; al multiplicar por 3{,}156\times10^{7}\,\text{s} se obtiene 8{,}51\times10^{-11}\,\text{m/año}. ✔
la porción de altura que aumenta es del 5{,}67\times10^{-11} al año (es decir, \Delta h \approx 8{,}51\times10^{-11}\,\text{m} por año, unas 85 piceómetros), una cantidad ínfima e imperceptible.
— Aumento de la distancia Tierra-Venus
- La distancia media Tierra-Venus (casi sinéstrica: 0,28 UA) es:
d = 4{,}2\times10^{7}\,\text{km} = 4{,}2\times10^{10}\,\text{m}\quad\text{(distancia mínima)}
d_{\text{media}} \approx 1{,}08\times10^{8}\,\text{km} = 1{,}08\times10^{11}\,\text{m} \approx 1{,}14\times10^{-5}\,\text{año luz}
Como la ley de Hubble es proporcional, la porción es la misma que en el inciso a): 5{,}67\times10^{-11} por año. Solo cambia el incremento absoluto.
Con la distancia media:
\Delta d = 1{,}08\times10^{11}\,\text{m} \times 5{,}67\times10^{-11} \approx 6{,}1\,\text{m por año}
- Comprobación con v = H_0d: v = 1{,}08\times10^{11}\,\text{m}\times1{,}797\times10^{-18}\,\text{s}^{-1} = 1{,}94\times10^{-7}\,\text{m/s}; multiplicando por 3{,}156\times10^{7}\,\text{s/año} se obtiene 6{,}1\,\text{m/año}. ✔
Nota crítica (naturaleza de la física)
La ley de Hubble describe la expansión del espacio-tiempo a escalas cosmológicas. En sistemas ligados gravitatorios —una niña, el Sistema Solar, la Tierra y Venus— el espacio no se expande: la gravedad supera la expansión. Los valores 8{,}51\times10^{-11}\,\text{m/año} y 6\,\text{m/año} son solo estimaciones pedagógicas de aplicación directa de la fórmula a escalas donde ésta no es válida. Por eso, en la práctica, la niña sigue midiendo 1{,}50\,\text{m} y la distancia Tierra-Venus no cambia por la expansión cósmica.
el incremento de la distancia Tierra-Venus es del mismo 5{,}67\times10^{-11} por año, lo que equivale a unos 6\,\text{m} cada año.
