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Tema 2: Derivadas e Integrales

📄 teoria matematica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

1a) $y'(2)=36$ ; 1b) $18$ ; 1c) $0$ ; 2a) $12x^{3}-6x^{2}+5$ ; 3a) $\tfrac{14}{3}$ ; 4a) $f''=112x^{6}-180x^{2}$ ; 4c) $h''=2$ , $\int h=\tfrac{x^{3}}{3}+4x^{2}+C$ .

📚 theory matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 43

Matematica 1° · Bgu 1 Matematica 2024 · 2024

Ejercicio 1

(a) $y=3x^{3}$ ; $y'=9x^{2}$ ; en $x=2$ : $y'(2)=36$ . (b) $y=3x^{2}-1$ ; $y'=6x$ ; en $x=3$ : $18$ . (c) $f(x)=8x^{3}-7x^{2}$ ; $f'(x)=24x^{2}-14x$ ; en $x=0$ : $0$ .

Ejercicio 2

(a) $y'=12x^{3}-6x^{2}+5$ . (b) $f(x)=(x^{2}+2x-3)(x^{3}-x)$ ; $f'=(2x+2)(x^{3}-x)+(x^{2}+2x-3)(3x^{2}-1)$ . (c) $g(x)=\dfrac{x^{2}+3x+1}{x^{2}-9x}$ ; $g'=\dfrac{(2x+3)(x^{2}-9x)-(x^{2}+3x+1)(2x-9)}{(x^{2}-9x)^{2}}$ .

Ejercicio 3

a

$\int_{1}^{3}(x^{2}-6x+10)dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}-3x^{2}+10x\right]_{1}^{3}=(9-27+30)-(\tfrac{1}{3}-3+10)=12-\tfrac{22}{3}=\tfrac{14}{3}$ .

Ejercicio 3

b

$\int \sqrt{2x+3}dx$ : sustitución $u=2x+3$ , $du=2dx$ . Antiderivada: $\dfrac{1}{3}(2x+3)^{3/2}$ . Evaluación en los límites (según el texto).

Ejercicio 4

a

$f(x)=2x^{8}-15x^{4}-1$ ; $f'=16x^{7}-60x^{3}$ ; $f''=112x^{6}-180x^{2}$ ; $\int f\,dx=\dfrac{2x^{9}}{9}-3x^{5}-x+C$ .

Ejercicio 4

c

$h(x)=x^{2}+8x$ ; $h'=2x+8$ ; $h''=2$ ; $\int h\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+4x^{2}+C$ .

Contenido de la página

Tema 2: Derivadas e Integrales

Pregunta: ¿Cómo se puede explicar la utilidad práctica de las integrales en contextos del mundo real?

¿Sabías qué? Las derivadas permiten identificar máximos/mínimos, determinar concavidad, localizar puntos críticos y analizar tendencia.

1. Pendientes de rectas tangentes

(a) $y=3x^{3}$ en $x=2$ . (b) $y=3x^{2}-1$ en $x=3$ . (c) $f(x)=8x^{3}-7x^{2}$ en $x=0$ .

2. Derivadas

(a) $y=3x^{4}-2x^{3}+5x$ (b) $f(x)=(x^{2}+2x-3)(x^{3}-x)$ (c) $g(x)=\dfrac{x^{2}+3x+1}{x^{2}-9x}$

3. Integrales definidas

(a) $\int_{1}^{3}(x^{2}-6x+10)\,dx$ (b) $\int_{3}^{11}\sqrt{2x+3}\,dx$ (c) $\int_{3}^{8}\sqrt{tx+1}\,dx$

4. Segunda derivada e integral

(a) $f(x)=2x^{8}-15x^{4}-1$ (b) $g(x)=\dfrac{2x+1}{3x-2}$ (c) $h(x)=x^{2}+8x$ (d) $y=\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^{2}$

METACOGNICIÓN

Fórmulas y ecuaciones

$y'=nx^{n-1}$

$\int_{a}^{b}$ f(x)dx

Glosario (2)

Derivada: Razón de cambio instantáneo de una función.
Integral definida: Área con signo bajo la curva entre dos límites.

Preguntas para practicar

¿Cómo se puede explicar la utilidad práctica de las integrales?

¿En qué otras ocasiones puedo usarlo?

¿Para qué me ha servido?

¿Cómo lo he aprendido?

¿Qué he aprendido?

Temas y conceptos clave

Cálculo diferencialCálculo integralDerivadaRegla del productoRegla del cocienteAntiderivadaIntegral definida

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Tema 2: Derivadas e Integrales

Responde la siguiente pregunta: ¿Cómo se puede explicar la utilidad práctica

de las integrales en contextos del mundo real?

Proporciona ejemplos concretos de situaciones en las que las integrales desempeñan un papel crucial y describa cómo ayudan a resolver problemas en áreas como la física, la economía o la

ingeniería.