Volumen del sólido al rotar y=x^2 alrededor del eje x entre x=0 y x=2.

Libro de Matemática 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Ejercicios 6-8: integrales, sólidos de revolución

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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6a) $8+e^{3}$ ; 6d) $\dfrac{e^{6}-1}{2}$ ; 7b) $\dfrac{16\pi}{15}$ ; 7c) $\dfrac{32\pi}{5}$ ; 8a) $3x\sin x+3\cos x+C$ .

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Solución — Página 45

Matematica 1° · Bgu 1 Matematica 2024 · 2024

Ejercicio 6

a

$\int_{0}^{3}(2x+e^{x})dx=[x^{2}+e^{x}]_{0}^{3}=(9+e^{3})-(0+1)=8+e^{3}\approx 8+20.09=28.09$ .

Ejercicio 6

c

$\int_{0}^{3}\sin^{2}(x)\cos(x)dx$ : $u=\sin x$ , $du=\cos x dx$ . $\int u^{2}du=\dfrac{u^{3}}{3}=\dfrac{\sin^{3}(x)}{3}$ ; evaluar $[\dfrac{\sin^{3}(3)}{3}-0]$ .

Ejercicio 6

d

$\int_{0}^{3}e^{2x}dx=\dfrac{e^{2x}}{2}\Big|_{0}^{3}=\dfrac{e^{6}-1}{2}\approx 201.21$ .

Ejercicio 7

c

Volumen del sólido rotando $y=x^{2}$ alrededor del eje x, entre $x=0$ y $x=2$ : $V=\pi\int_{0}^{2}(x^{2})^{2}dx=\pi\int_{0}^{2}x^{4}dx=\pi\cdot \dfrac{32}{5}=\dfrac{32\pi}{5}$ .

Ejercicio 7

b

$y=x^{2}-2x$ se anula en $x=0,2$ ; con $y\le 0$ en $[0,2]$ . Volumen $V=\pi\int_{0}^{2}(x^{2}-2x)^{2}dx=\pi\int_{0}^{2}(x^{4}-4x^{3}+4x^{2})dx=\pi\left[\tfrac{x^{5}}{5}-x^{4}+\tfrac{4x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\pi\left(\tfrac{32}{5}-16+\tfrac{32}{3}\right)=\pi\cdot \tfrac{96-240+160}{15}=\dfrac{16\pi}{15}$ .

Ejercicio 8

a

$\int 3x\cos x\,dx$ : por partes con $u=3x$ , $dv=\cos x\,dx$ . $\int=3x\sin x-\int 3\sin x\,dx=3x\sin x+3\cos x+C$ .

Contenido de la página

6. Integrales de 0 a 3

(a) $\int (2x+e^{x})dx$ (b) $\int (\pi+1)\cos 2x\,dx$ (c) $\int \sin^{2}x\cos x\,dx$ (d) $\int e^{2x}dx$

7. Sólidos de revolución

(a) Rotar $y=x^{2}$ y $y=\sqrt{x}$ alrededor de $y=-1$ . (b) Rotar la región entre $y=x^{2}-2x$ y el eje $x$ alrededor del eje $x$ . (c) Rotar $y=x^{2}$ , $x=0$ , $x=2$ alrededor del eje $x$ .

8. Integrales avanzadas

(a) $\int 3x\cos x\,dx$ (b) $\int \dfrac{x\cos x}{\sin^{2}x}dx$ (c) $\int \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}dx$ (d) $\int e^{ax}\sin(bx)dx$

Fórmulas y ecuaciones

$V=\pi\int_{a}^{b}f(x)^{2}dx$

$\int$ $u\,dv=uv-\int$ $v\,du$

Glosario (2)

Método de discos: $V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx$.
Integración por partes: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$.

Temas y conceptos clave

IntegralesSólidos de revoluciónMétodo de discosIntegración por partesSustitución

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📌 Antes de leer esto

• Reglas de integración
• Trigonometría

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Tema 4: Vectores y ecuaciones de la recta

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Calculo las siguientes integrales: desde X = O hasta x = 3 a) | (2x + eid

b) | (x + 1) (cos 2x) dx C) J sen2x cos x dx

A) | erxdx

Resuelvo los siguientes problemas: a) Hallo el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor de la recta y=—1 la región

comprendida entre las curvas y=x? y $y=\Xx$ .

b) Hallo el volumen del sólido generado por la rotación de la región comprendida entre la curva y=x? -2x y el eje x, alrededor del eje de las abscisas.

c) Encuentro el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por las curvas y=x? , x=0 y x=2.