Recta de regresión y en x.

Libro de Matemática 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Tema 5: Introducción a la regresión lineal simple

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$E(X)=1.5$ , $\sigma_X\approx 0.866$ ; 2a) $\hat y=8.95-0.172x$ .

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Solución — Página 72

Matematica 1° · Bgu 1 Matematica 2024 · 2024

Ejercicio 1

Lanzar 3 monedas: espacio $2^3=8$ . $X$ =número de caras ( $0,1,2,3$ ); $Y$ = $|X-(3-X)|=|2X-3|$ : $X=0\to Y=3$ , $X=1\to Y=1$ , $X=2\to Y=1$ , $X=3\to Y=3$ .

Distribuciones marginales: $P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8, P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8$ .
$E(X)=1.5$ ; $\sigma_X^{2}=0.75$ ; $\sigma_X\approx 0.866$ .
$Y\in\{1,3\}$ : $P(Y=1)=6/8=0.75$ ; $P(Y=3)=2/8=0.25$ ; $E(Y)=1.5$ ; $\sigma_Y^{2}=E(Y^2)-2.25=1(0.75)+9(0.25)-2.25=3-2.25=0.75$ .
Como $Y$ es función de $X$ , existe relación lineal a pedazos; covarianza y correlación se calculan directamente.

Ejercicio 2

a

Datos $x=(8,6,7,8,9,10,10,7,8), y=(7,8,6,8,9,7,7,10,6)$ . $n=9$ . $\bar x=\dfrac{73}{9}\approx 8.11$ ; $\bar y=\dfrac{68}{9}\approx 7.56$ . $\sum xy = 8\cdot 7+6\cdot 8+7\cdot 6+8\cdot 8+9\cdot 9+10\cdot 7+10\cdot 7+7\cdot 10+8\cdot 6=56+48+42+64+81+70+70+70+48=549$ . $\sum x^2 = 64+36+49+64+81+100+100+49+64=607$ . $b=\dfrac{n\sum xy-\sum x\sum y}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}=\dfrac{9\cdot 549-73\cdot 68}{9\cdot 607-73^{2}}=\dfrac{4941-4964}{5463-5329}=\dfrac{-23}{134}\approx -0.172$ . $a=\bar y - b\bar x\approx 7.56-(-0.172)(8.11)\approx 7.56+1.39=8.95$ . Recta: $\hat y=8.95-0.172x$ .

Ejercicio 2

b (mínimos cuadrados)

Se aplica el mismo procedimiento para edad-ausentismo con los datos del cuadro (10 trabajadores).

Contenido de la página

Tema 5: Introducción a la regresión lineal simple

1. Experimento de tres monedas

Distribución de $(X,Y)$ .
Media y desviación de las distribuciones marginales.
Covarianza y coeficiente de correlación.

2. Regresión

(a) Datos:

$x$	8	6	7	8	9	10	10	7	8
$y$	7	8	6	8	9	7	7	10	6
(b) Ausentismo-edad de 10 trabajadores.

Tabla

$x$	8	6	7	8	9	10	10	7	8
$y$	7	8	6	8	9	7	7	10	6

Fórmulas y ecuaciones

b= $\dfrac{n\sum xy-\sum x \sum y}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

$a=\bar$ y - $b\bar$ x

Glosario (1)

Mínimos cuadrados: Método para ajustar una recta minimizando la suma de cuadrados de residuos.

Preguntas para practicar

¿Cómo puedes conocer las relaciones entre variables?

Temas y conceptos clave

Regresión lineal simpleMínimos cuadradosCovarianzaCoeficiente de correlación

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Tema 5: Introducción a la regresión lineal simple

¿Crees que algunas acciones de tu vida cotidiana están relacionadas, cómo puedes conocer estas relaciones?

Calculo lo siguiente:

Un experimento consiste en lanzar tres veces una moneda. Si las variables aleatorias son: X = “número de caras en los tres tiros” y Y = “diferencia en valor absoluto entre el número de caras y el de sellos en los tres lanzamientos”.

a) La distribución de probabilidad de (X, Y).

b) La media aritmética y desviación típica de las distribuciones

marginales de X y Y.

c) La covarianza y el coeficiente de correlación.

Resuelvo los siguientes problemas: a) Las calificaciones de un grupo de estudiantes en su promedio de Tercero BGU (x) y en el proyecto de grado (y) fueron las siguientes:

x 8 6 7 8 | 9 [10|10 | 7 8

y 7 8 6 8g|9|7 |7|10| 6

Determino la recta de regresión lineal de y en x.

b) El gerente de talento humano de cierta empresa quiere estudiar la relación entre el ausentismo y la edad de los trabajadores. Para ello, tomó una muestra aleatoria de 10 trabajadores de la empresa y encontró los siguientes datos:

( Edad (año) 25 46|58/37|55/32| 41) 50) 23 50

Ausentismo (días por año) 18/|12|8 [15/10/13 7 |9|16|6

Uso el método de mínimos cuadrados para hallar la ecuación muestral que relaciona las dos variables.

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