Una confusión cotidiana
Franz Kafka (1883–1924). Escritor nacido en Praga, en el seno de una familia acomodada perteneciente a la minoría judía de lengua alemana.
Tomado de https://goo.gl/5921yo (23/03/2018)
Un problema cotidiano, del que resulta una confusión cotidiana. A tiene que concretar un negocio importante con B en H; se traslada a H para una entrevista preliminar, pone diez minutos en ir y diez en volver, y en su hogar se enorgullece de esa velocidad.
Al día siguiente vuelve a H, esa vez para cerrar el negocio, ya que probablemente eso le insumirá muchas horas. A sale temprano. Aunque las circunstancias (al menos en opinión de A) son precisamente las de la víspera, tarda diez horas esta vez en llegar a H. Lo hace al atardecer, rendido. Le comunicaron que B, inquieto por su demora, ha partido hace poco para el pueblo de A y que deben haberse cruzado por el camino. Le aconsejan que aguarde. A, sin embargo, impaciente por la concreción del negocio, se va inmediatamente y retorna a su casa.
Esta vez, sin prestar mayor atención, hace el viaje en un rato. En su casa le dicen que B llegó muy temprano, inmediatamente después de la salida de A, y que hasta se cruzó con A en el umbral y quiso recordarle el negocio, pero que A le respondió que no tenía tiempo y que debía salir en seguida.
Pese a esa incomprensible conducta, B entró en la casa a esperar su vuelta. Ya había preguntado muchas veces si no había regresado todavía, pero continuaba aguardando aún en el cuarto de A.
Contento de poder encontrarse con B y explicarle lo sucedido, A corre escaleras arriba. Casi al llegar, tropieza, se tuerce un tobillo y, a punto de perder el conocimiento, incapaz de gritar, gimiendo en la oscuridad, oye a B —tal vez ya muy lejos, tal vez a su lado— que baja la escalera furioso y desaparece para siempre.
Pregunta de la página
¿Los personajes podrían haber usado las matemáticas para evitar la confusión?
Análisis físico del cuento
El conflicto surge de tres errores de modelación:
- No hay sistema de referencia común: A y B no acuerdan un origen x=0 ni un eje positivo.
- Las velocidades efectivas no son constantes: A tarda 10 minutos en el primer viaje y 10 horas en el segundo; por eso sus rectas en el gráfico x(t) tienen pendientes muy distintas.
- No hay horario coordinado: las salidas se deciden por la impaciencia, no por el cálculo.
Modelo matemático
Sea d la distancia entre los pueblos de A y H. El origen x=0 se sitúa en el pueblo de A y el eje positivo apunta a H.
Trayecto de A (de A hacia H):
x_{A}(t)=v_{A}\,t, \qquad 0\le t\le \frac{d}{v_{A}}
Trayecto de B (de H hacia A):
x_{B}(t)=d-v_{B}\,(t-t_{B0}), \qquad t\ge t_{B0}
donde t_{B0} es la hora en que B parte de H.
Condición de encuentro: x_{A}(t^{*})=x_{B}(t^{*}), es decir:
v_{A}t^{*}=d-v_{B}(t^{*}-t_{B0})
Resolviendo para el instante de encuentro:
t^{*}=\frac{d+v_{B}\,t_{B0}}{v_{A}+v_{B}}
Condición de que realmente se encuentren: 0\le t^{*}\le d/v_{A} y t^{*}\ge t_{B0}. Si B sale después de que A ya pasó por el punto medio, entonces t^{*}<t_{B0}: no hay encuentro y ocurre la confusión del cuento.
Ejemplo numérico ilustrativo
Supongamos que la distancia entre los pueblos es d=60\,\text{km}, que A viaja el primer día a v_{A}=6\,\text{km/h} (10 h por el trayecto) y que B sale de H a v_{B}=12\,\text{km/h}.
- Si B sale simultáneamente con A (t_{B0}=0):
t^{*}=\frac{60}{6+12}=\frac{60}{18}=3{,}33\,\text{h}
x^{*}=v_{A}\,t^{*}=6\times 3{,}33=20\,\text{km}
Se encontrarían 20 km del pueblo de A, a las 3 h 20 min de salida.
- Si A tarda 10 h (velocidad efectiva v_{A}=6\,\text{km/h}) pero sale de madrugada y B sale a las t_{B0}=6\,\text{h}:
t^{*}=\frac{60+12\times 6}{6+12}=\frac{132}{18}=7{,}33\,\text{h}
Como t^{*}=7{,}33\,\text{h} es posterior a t_{B0}=6\,\text{h} y anterior a t_{\text{fin}}=10\,\text{h}, sí se encontrarían; pero si B sale a las t_{B0}=11\,\text{h}, entonces t^{*}<t_{B0} y no se cruzan: aparece la confusión.
Conclusión
Una hoja de cálculo o un simple gráfico x(t) con dos rectas habría mostrado de inmediato si las rectas se cruzaban dentro del intervalo de viaje. Con matemáticas, la confusión es evitable: basta coordinar hora de salida y velocidad para garantizar el encuentro.
Nota sobre la página: es un texto de lectura («Juntos leemos») dentro del Texto de Física; no contiene ejercicios numéricos del libro. El modelo anterior se presenta como respuesta académica a la pregunta planteada.
