Ejercicio 36
¿Los personajes podrían haber usado las matemáticas para evitar la confusión?
Modelización del problema
- Identificamos los datos del relato: A viaja entre su pueblo (llamémoslo A_p) y el lugar H, donde está B. Denominemos d a la distancia entre A_p y H y v a la velocidad de A en el viaje de la víspera.
- En la víspera el viaje de ida tarda t_{\text{ida}} = 10 \, \text{min} y el de vuelta t_{\text{vuelta}} = 10 \, \text{min}, por lo que el modelo de movimiento uniforme d = v \cdot t da d = v \cdot 10 y el viaje completo t_{\text{total}} = 10 + 10 = 20 \, \text{min}.
- Al día siguiente A tarda t_2 = 10 \, \text{h} en recorrer el mismo trayecto. Convertimos: 10 \, \text{h} = 10 \times 60 = 600 \, \text{min}.
- Si la distancia es la misma, la velocidad efectiva del segundo viaje es v' = \dfrac{d}{600}. Como d = 10v, resulta v' = \dfrac{10v}{600} = \dfrac{v}{60}: A viajó 60 veces más lento que la víspera. Matemáticamente, con d y v constantes no es posible que el mismo trayecto dure 10 min y 600 min; luego las circunstancias del segundo día no eran las mismas (A supone erróneamente que sí).
Coordinación del encuentro
- El cruce fallido se evita igualando las posiciones de A y B en función del tiempo. Sean x_A(t) y x_B(t) las posiciones respecto de A_p; el encuentro ocurre cuando x_A(t^*) = x_B(t^*).
- Datos para el cálculo: A parte de A_p a las 6{:}00 y llega a H a las 6{:}00 + 10 \, \text{h} = 16{:}00 (atardecer, como señala el relato). B, que espera en H, sale hacia A_p "hace poco" del atardecer, es decir, cerca de las 16{:}00. Si B sale a las 16{:}00 con velocidad v_B y A regresa de inmediato desde H con velocidad v, se cruzan en el instante t^* tal que v(t^* - 16{:}00) + v_B(t^* - 16{:}00) = d.
- Resolviendo: t^* - 16{:}00 = \dfrac{d}{v + v_B}, es decir, transcurren \dfrac{d}{v+v_B} horas después de las 16:00 antes de que estén en el mismo punto.
- Ejemplo numérico: si d = 30 \, \text{km}, v = 3 \, \text{km/h} (el viaje "demorado") y v_B = 30 \, \text{km/h} (auto), entonces t^* - 16{:}00 = \dfrac{30}{3 + 30} = \dfrac{30}{33} \approx 0{,}91 \, \text{h} \approx 55 \, \text{min}: se encontrarían a las 16:55, sin cruzarse de largo.
Cuadro de horarios que habría evitado la confusión
| Evento | Hora (día 2) | Tiempo de viaje | Momento en que A está en H |
|---|---|---|---|
| A sale de A_p | 6:00 | 10 \, \text{h} | 16:00 |
| B sale de H hacia A_p | 16:15 | d/v_B | — |
| A regresa de H | 16:10 | t_{\text{vuelta}} | — |
| Encuentro previsto | 16:55 | — | punto intermedio |
- Conclusión: sí. Un modelo simple d = v \cdot t, una conversión de unidades (min ↔ h) y la igualación de posiciones habrían permitido a A y B acordar hora y lugar de encuentro, evitando tanto el cruce en el camino como la espera angustiante de B.
Respuesta
Sí; con el modelo de movimiento uniforme d = v \cdot t, la conversión de 10 \, \text{h} = 600 \, \text{min} y la igualación x_A(t) = x_B(t), ambos habrían calculado hora y punto de encuentro y evitado la confusión.
