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Ley de Hubble y modelo Lambda-CDM: desplazamiento al rojo de galaxias

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Respuesta rápida

2.c: expansión acelerada por la energía oscura Λ y formación de estructuras por materia oscura fría (CDM). 3: λ(obs) ≈ 564,12 nm (v ≈ 64,4 km/s); 3.b: λ(obs) ≈ 564,40 nm (v ≈ 215 km/s); 3.c: Δλ ≈ 8,8×10⁻⁵ nm (despreciable).

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 258

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 2

c

Explico dos sucesos de la película mediante el modelo estándar Lambda-CDM.

Nota: el título de la película aparece en las páginas anteriores (no visibles en esta imagen), así que se dan respuestas orientativas basadas en sucesos típicamente explicables por el modelo estándar.

El modelo Lambda-CDM describe un universo en expansión acelerada, compuesto por energía oscura ( $\Lambda \approx 68\%$ ), materia oscura fría ( $\approx 27\%$ ) y materia bariónica ( $\approx 5\%$ ).

Suceso 1 — La expansión acelerada del universo. La ley de Hubble, $v = H_{0} d$ , muestra que las galaxias lejanas se alejan más rápido. En Lambda-CDM, la energía oscura $\Lambda$ actúa como una densidad de energía constante con presión negativa ( $w = -1$ ) que acelera la expansión; por eso, galaxias a mayor distancia desplazan su luz más hacia el rojo ( $\lambda_{obs} = \lambda_{0}\left(1 + \frac{H_{0}d}{c}\right)$ ). Un suceso como "alejarse hacia una galaxia cada vez más lejana" o "el cielo volviéndose rojo" se explica por este corrimiento al rojo cosmológico.
Suceso 2 — La formación de estructuras (galaxias, cúmulos y estrellas) a partir de una semilla gravitatoria. La materia oscura fría (CDM, sin interacción electromagnética y, por tanto, transparente a la radiación) colapsa gravitatoriamente formando "halos" que atraen materia bariónica, la cual se enfría y forma estrellas y galaxias. Así, una trama cósmica ("filamentos de galaxias") y una edad finita del universo ( $\sim 13{,}8$ miles de millones de años, determinada por la expansión y el fondo cósmico de microondas) son predicciones directas de Lambda-CDM.

Otras explicaciones posibles del modelo: observación del Fondo Cósmico de Microondas, desaparición de ciertas supernovas al enfriarse el universo, o el envejecimiento estelar proporcional al tiempo transcurrido desde el Big Bang.

Ejercicio 3

Hallemos la longitud de onda observada de la línea del potasio, cuya longitud de onda en reposo es $\lambda_{0} = 564\ \text{nm}$ , aplicando la ley de Hubble y la fórmula del efecto Doppler relativista para corrimientos pequeños:

Ley de Hubble: $v = H_{0} d$ , con $H_{0} = 70\ \text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{Mpc}^{-1}$ (valor típico de los libros de texto; $1\ \text{Mpc} = 3{,}26 \times 10^{6}\ \text{años luz}$ ).
Efecto Doppler: $v = c\,z = c\,\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_{0}} \Rightarrow \lambda_{obs} = \lambda_{0}\left(1 + \dfrac{v}{c}\right)$ , con $c = 2{,}998 \times 10^{5}\ \text{km}\,\text{s}^{-1}$ .

Parte 3.a

Galaxias a $3 \times 10^{6}$ años luz de la Tierra

Convertir la distancia a megaparsecs: $d = \frac{3 \times 10^{6}\ \text{al}}{3{,}26 \times 10^{6}\ \text{al/Mpc}} = 0{,}92\ \text{Mpc}$
Velocidad de recesión (ley de Hubble): $v = H_{0} d = 70\ \frac{\text{km}}{\text{s}\,\text{Mpc}} \times 0{,}92\ \text{Mpc} = 64{,}4\ \text{km/s}$
Corrimiento al rojo: $z = \frac{v}{c} = \frac{64{,}4}{2{,}998 \times 10^{5}} = 2{,}15 \times 10^{-4}$
Desplazamiento de la línea: $\Delta\lambda = \lambda_{0} z = 564\ \text{nm} \times 2{,}15 \times 10^{-4} = 0{,}121\ \text{nm}$
Longitud de onda observada: $\lambda_{obs} = 564\ \text{nm} + 0{,}121\ \text{nm} = 564{,}12\ \text{nm}$

Respuesta

$\lambda_{obs} \approx 564{,}1\ \text{nm}$ (con $v \approx 64\ \text{km/s}$ ).

Parte 3.b

Galaxias a $10 \times 10^{6}$ años luz de la Tierra

Distancia: $d = 10^{7}\ \text{al}$ ; en Mpc: $d = \frac{10^{7}}{3{,}26 \times 10^{6}} = 3{,}07\ \text{Mpc}$
Velocidad: $v = 70 \times 3{,}07 = 214{,}9\ \text{km/s}$
Corrimiento al rojo: $z = \frac{214{,}9}{2{,}998 \times 10^{5}} = 7{,}17 \times 10^{-4}$
Desplazamiento: $\Delta\lambda = 564\ \text{nm} \times 7{,}17 \times 10^{-4} = 0{,}404\ \text{nm}$
Longitud de onda observada: $\lambda_{obs} = 564\ \text{nm} + 0{,}404\ \text{nm} = 564{,}40\ \text{nm}$

Respuesta

$\lambda_{obs} \approx 564{,}4\ \text{nm}$ (con $v \approx 215\ \text{km/s}$ ).

Parte 3.c

La nebulosa de Orión, a $2\,170$ años luz

Distancia en Mpc: $d = \frac{2\,170}{3{,}26 \times 10^{6}} = 6{,}65 \times 10^{-4}\ \text{Mpc}$
Velocidad según la ley de Hubble: $v = 70 \times 6{,}65 \times 10^{-4} = 0{,}0466\ \text{km/s} = 46{,}6\ \text{m/s}$
Corrimiento al rojo: $z = \frac{0{,}0466}{2{,}998 \times 10^{5}} = 1{,}55 \times 10^{-7}$
Desplazamiento: $\Delta\lambda = 564\ \text{nm} \times 1{,}55 \times 10^{-7} = 8{,}8 \times 10^{-5}\ \text{nm}$
Longitud de onda observada: $\lambda_{obs} = 564\ \text{nm} + 8{,}8 \times 10^{-5}\ \text{nm} \approx 564{,}00009\ \text{nm}$

Interpretación importante: la nebulosa de Orión está dentro de la Vía Láctea, así que la ley de Hubble (que describe la expansión cósmica a escalas de millones de años luz) no es aplicable en realidad. En objetos locales dominan los movimientos propios dentro de la galaxia; de hecho, la vecina Andrómeda se acerca a nosotros y su línea es desplazada al azul.

Respuesta

$\Delta\lambda \approx 8{,}8 \times 10^{-5}\ \text{nm}$ , es decir, despreciable: la línea del potasio se observa prácticamente en $564\ \text{nm}$ .

Contenido de la página

Ley de Hubble y modelo Lambda-CDM

2.c Explico dos sucesos de la película mediante el modelo estándar Lambda-CDM.

(Actividad abierta. El título de la película consta en las páginas anteriores, no visibles en esta imagen.)

El modelo Lambda-CDM es el estándar cosmológico: describe un universo en expansión acelerada, con energía oscura (~68 %), materia oscura fría (~27 %) y materia bariónica (~5 %).

Expansión acelerada: la ley de Hubble $v = H_0 d$ muestra que las galaxias lejanas se alejan más rápido; la energía oscura (presión negativa) acelera esa expansión, de modo que la luz de objetos muy lejanos llega con mayor corrimiento al rojo.
Formación de estructuras: la materia oscura fría (transparente a la radiación) colapsa gravitatoriamente y genera halos donde se forman estrellas y galaxias; predice además una edad finita del universo (~13,8 miles de millones de años) y el Fondo Cósmico de Microondas.

3. Hallo mediante la ley de Hubble, la longitud de onda de la línea del potasio 564 nm emitida por galaxias que se localizan a:

Datos comunes: $\lambda_0 = 564\ \text{nm}$ , $H_0 = 70\ \text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{Mpc}^{-1}$ , $c = 2{,}998\times10^{5}\ \text{km/s}$ , $1\ \text{Mpc} = 3{,}26\times10^{6}\ \text{años luz}$ .

a) $3\times10^{6}$ años luz de la Tierra.

b) $10\times10^{6}$ años luz de la Tierra.

c) La nebulosa de Orión que está a $2\,170$ años luz.

(Las respuestas se encuentran en la resolución de esta página.)

Ejemplos resueltos

Calcular el corrimiento al rojo de la línea del potasio ( $\lambda_0 = 564\ \text{nm}$ ) emitida por una galaxia a $3\times10^{6}$ años luz.

$d = 3\times10^{6}/(3{,}26\times10^{6}) = 0{,}92\ \text{Mpc}$ . Entonces $v = 70\times0{,}92 = 64{,}4\ \text{km/s}$ , $z = 64{,}4/2{,}998\times10^{5} = 2{,}15\times10^{-4}$ , y $\lambda_{obs} = 564 + 0{,}121 = 564{,}12\ \text{nm}$ .

Tablas (11)

| Dato | Símbolo | Valor |

|---|---|---|

| Longitud de onda en reposo (línea del potasio) | $\lambda_0$ | $564\ \text{nm}$ |

| Constante de Hubble | $H_0$ | $70\ \text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{Mpc}^{-1}$ |

| Velocidad de la luz | $c$ | $2{,}998\times10^{5}\ \text{km/s}$ |

| Relación de conversión | — | $1\ \text{Mpc} = 3{,}26\times10^{6}\ \text{años luz}$ |

| Objeto | Distancia | Distancia (Mpc) | $v$ (km/s) | $\Delta\lambda$ (nm) | $\lambda_{obs}$ (nm) |

|---|---|---|---|---|---|

| a) Galaxia | $3\times10^{6}$ al | 0,92 | 64,4 | 0,121 | 564,12 |

| b) Galaxia | $10\times10^{6}$ al | 3,07 | 214,9 | 0,404 | 564,40 |

| c) Nebulosa de Orión | 2170 al | $6{,}65\times10^{-4}$ | 0,0466 (46,6 m/s) | $8{,}8\times10^{-5}$ | ≈ 564,00009 |

Fórmulas y ecuaciones

$v = H_0\,d$ (ley de Hubble)

$\lambda_{obs} = \lambda_0\left(1 + \dfrac{v}{c}\right)$ (efecto Doppler no relativista)

$1\ \text{Mpc} = 3{,}26\times10^{6}\ \text{años luz}$

v = $H_0$ d

z = $\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}$ = $\frac{v}{c}$

$\lambda_{obs}$ = $\lambda_0$ $\left(1$ + $\frac{H_0 d}{c}$ $\right)$

$d\,[$ $\text{Mpc}$ ] = $\frac{d\,[\text{años luz}]}{3{,}26\times10^{6}}$

$\Delta\lambda$ = $\lambda_0$ $\frac{v}{c}$

$\Lambda_{$ $\text{exp}$ } = $H_0$ d

Glosario (9)

Ley de Hubble: Afirma que la velocidad de recesión de una galaxia es proporcional a su distancia de la Vía Láctea: v = H₀·d.
Constante de Hubble (H₀): Constante de proporcionalidad entre distancia y velocidad de recesión; se toma típicamente 70 km/(s·Mpc).
Megaparsec (Mpc): Unidad astronómica de distancia equivalente a 10⁶ parsecs, o 3,26×10⁶ años luz.
Año luz: Distancia que recorre la luz en un año: 9,46×10¹⁵ m.
Corrimiento al rojo (redshift): Desplazamiento hacia longitudes de onda mayores de una línea espectral debido al alejamiento de la fuente: z = Δλ/λ₀.
Efecto Doppler: Cambio en la longitud de onda percibida por un observador cuando la fuente y él se mueven entre sí; v = c·z para corrimientos pequeños.
Modelo Lambda-CDM: Modelo estándar del universo con constante cosmológica Λ (energía oscura) y materia oscura fría (CDM).
Materia oscura fría (CDM): Materia invisible que no emite ni absorbe luz y que interactúa gravitatoriamente, formando la estructura cósmica.
Nebulosa de Orión: Región de formación estelar a ~2170 años luz, dentro de la Vía Láctea.

Preguntas para practicar

2.c ¿Explico dos sucesos de la película mediante el modelo estándar Lambda-CDM?

Se pueden explicar (i) la expansión acelerada del universo, que la energía oscura Λ acelera conforme v = H₀d y produce corrimientos al rojo mayores en objetos lejanos; y (ii) la formación de galaxias y cúmulos por el colapso gravitatorio de la materia oscura fría (CDM), que además predice una edad finita del universo (~13,8 mil millones de años) y el Fondo Cósmico de Microondas. Variantes válidas: la existencia de un Big Bang, la observación del CMB o el envejecimiento estelar.

Temas y conceptos clave

Ley de HubbleEfecto Doppler y corrimiento al rojoModelo estándar Lambda-CDMExpansión acelerada del universoMateria oscura fría y energía oscuraley de Hubbleconstante de Hubble H₀megaparsec (Mpc)años luzcorrimiento al rojocorrimiento al azulmodelo Lambda-CDMenergía oscuramateria oscura fría