Actividad con la película Interstellar: suponiendo que toda separación se expande según la constante de Hubble H = 17 \times 10^{-3} \, \dfrac{\text{m}}{\text{s} \cdot \text{año luz}}, determinar la porción de aumento de una altura de 1,50 m y de la distancia Tierra-Venus.
Determino qué porción de altura aumentará, si al ser una niña medía 1,50 metros.
La ley de Hubble establece que la velocidad de separación es proporcional a la distancia: v = H \cdot d. Por tanto, la fracción (porción) de aumento por unidad de tiempo es \dfrac{\Delta L}{L} = H \cdot t, independiente de L.
Convierto la constante a unidades de tiempo. Primero, 1 año luz en metros: 1 \, \text{año luz} = 9{,}461 \times 10^{15} \, \text{m}.
Expreso H en \text{s}^{-1}:
H = \frac{17 \times 10^{-3} \, \text{m}}{\text{s} \cdot 9{,}461 \times 10^{15} \, \text{m}} = 1{,}797 \times 10^{-18} \, \text{s}^{-1}
- Multiplico por la duración de un año, 1 \, \text{año} = 3{,}156 \times 10^{7} \, \text{s}, para obtener la porción que aumenta cada año:
\frac{\Delta L}{L} = 1{,}797 \times 10^{-18} \, \text{s}^{-1} \times 3{,}156 \times 10^{7} \, \text{s} = 5{,}67 \times 10^{-11}
La porción (fracción) de la altura que aumenta cada año es 5{,}67 \times 10^{-11}, es decir, aproximadamente \frac{1}{1{,}76 \times 10^{10}} de su valor: solo una diez mil millonésima parte por año.
Aplico esa porción a la altura de la niña, L = 1{,}50 \, \text{m}:
\Delta L = 5{,}67 \times 10^{-11} \times 1{,}50 \, \text{m} = 8{,}51 \times 10^{-11} \, \text{m/año}
Cada año aumenta la porción 5{,}67 \times 10^{-11} de la altura (la misma fracción para cualquier separación); en el caso de 1,50 m corresponde a \Delta L \approx 8{,}5 \times 10^{-11} \, \text{m} por año (unas 85 pm, menos que el diámetro de un átomo).
Respondo ¿en qué porción se incrementaría la distancia entre la Tierra y Venus?
Como la expansión es proporcional, la porción de aumento depende solo de H y del tiempo transcurrido, no de la longitud considerada: \dfrac{\Delta d}{d} = H \cdot t.
Por tanto, la porción anual es exactamente la misma que en el literal a):
\frac{\Delta d}{d} = 5{,}67 \times 10^{-11} \, \text{por año}
Para ilustrar con un valor, la distancia media Tierra-Venus es aproximadamente d = 1{,}08 \times 10^{11} \, \text{m} (≈ 0,72 UA).
El incremento absoluto por año sería:
\Delta d = 5{,}67 \times 10^{-11} \times 1{,}08 \times 10^{11} \, \text{m} = 6{,}12 \, \text{m/año}
- Conclusión: aunque el aumento absoluto (≈ 6 m) es muchísimo mayor que el de la niña (≈ 10^{-10} m), la porción relativa es idéntica (5{,}67 \times 10^{-11} por año). Por eso la expansión del universo no se percibe en objetos ligados por fuerzas (cuerpo humano, planetas del Sistema Solar), que no participan del flujo cosmológico.
La distancia Tierra-Venus aumentaría la misma porción, 5{,}67 \times 10^{-11} de su valor por año (≈ 6,1 m anuales).
