Página — Matematica 9° Secundaria (pág. 64)

Analiza las sucesiones que construiste en los problemas anteriores.

Calcula cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos.

a_{2}-a_{1}\quad a_{3}-a_{2}\quad a_{4}-a_{3}

Qué puedes concluir?

En el caso de la altura de los pisos del edificio:

a_{2}-a_{1}\quad a_{3}-a_{2}\quad a_{4}-a_{3}

Sucede lo mismo para cualquier par de términos consecutivos?

En el problema de los gastos de Juliana:

a_{2}-a_{1}\quad a_{3}-a_{2}\quad a_{4}-a_{3}

b)jCómo explicarías la construcción de estas sucesiones?

Tienes una estrategia general para la construcción de términos sucesivos de estas sucesiones?

Se llama progresión aritmética a sucesiones como las que originaron los problemas que resolviste en la sesión anterior.

En ellos la sucesión,a_{1,}a_{2},a_{3},\ldots a_{n} se obtuvo sumando a cada término una cantidad fija d llamada diferencia.

Así:a_{2}=a_{1}+d;\;a_{3}=a_{2}+d;\;a_{n}=a_{n-1}+d\;y en general,se tiene que:a_{n}-a_{n-1}=d

En algunos casos esta diferencia es positiva, en otros casos es negativa, pero siempre es la misma diferencia.

Sobre una progresión aritmética se puede conocer todo si sabemos el primer término a y la diferencia d.

La expresión a_{n}=a_{1}+(n-1)d corresponde al término n-ésimo de toda sucesión aritmética.

Esta expresión permite conocer todo lo que queramos de una progresión aritmética.

Veamos algunos problemas:

1. Si de una cierta progresión es 6 y la diferencia es 1.5, escribe los 10 primeros términos de la sucesión.

\begin{aligned}&a_{1}=6\quad d=1.5\\&a_{2}=a_{1}+(2-1)d=6+1.5=7.5\\&a_{3}=a_{1}+(3-1)d=6+2(1.5)=9\\&a_{4}=a_{1}+(4-1)d=6+3(1.5)=10.5\\ \end{aligned}

Comprueba que esta sucesión es: 6,7.5,9,10.5,12,13.5,15,16.5,18,\ldots En esta sucesión $a_{n}=6+(n-1)(1.5)$ iCuál es el término $a_{_{20}}$ de esta progresión aritmética?

\begin{aligned}&a_{n}=6+(n-1)d\\&a_{20}=6+(20-1)(1.5)\\&a_{20}=6+19(1.5)\\&a_{20}=6+28.5\\&a_{20}=34.5\\ \end{aligned}

$$

2. Paula quiere ahorrar semana a semana, cada vez un poco más esta semana ahorra 2,000, la próxima 2,200, en la subsiguiente $2,400 y así sucesivamente.

Acaba de echar en su alcancía $4,2oo de esta semana pero ha olvidado cuántas semanas lleva ahorrando.

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional

64

Primer dia	a_{1}=45,000
Segundo dia	a_{2}=45,000-3,000=42,000
Tercer dia	a_{2}=45,000-3,000=42,000
Enésimo día	a_{_n}=

Unidad 1. Conjunto de los números reales