Página — Matematica 9° Secundaria (pág. 39)

Utilizamos los determinantes \left|\mathsf{A}\right|,\left|\mathsf{A}\right|_{x'}\left|\mathsf{A}\right|_{y} ,en la regla de Cramer. Laregla de Cramer puede utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

De forma general tenemos:a_{1}x+b_{1}y=c_{1}y\quad a_{2}x+b_{2}y=c_{2}

x=\frac{\left|\begin{matrix}c_{1}&b_{1}\\ c_{2}&b_{2}\end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\ a_{2}&b_{2}\end{matrix}\right|}=\frac{\left|\begin{matrix}A\\ \end{matrix}\right|_{x}}{\left|\begin{matrix}A\\ \end{matrix}\right|}\quad\forall y=\frac{\left|\begin{matrix}a_{1}&c_{1}\\ a_{2}&c_{2}\end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\ a_{2}&b_{2}\end{matrix}\right|}=\frac{\left|\begin{matrix}A\\ \end{matrix}\right|_{y}}{\left|\begin{matrix}A\\ \end{matrix}\right|}\quad\text{donde}|A|\neq0

Para tener una idea más clara de cómo resolver el sistema de ecuaciones con la regla de Cramer, resolvamos un ejemplo.

\begin{aligned}3x+5y=7\\4x-y=-6\end{aligned}

Debemos tener en cuenta que las dos ecuaciones están de la forma ax+by=c, ,ahora debemos identificar a los términos del determinante:

a_{1}=3,b_{1}=5,c_{1}=7,a_{2}=4,b_{2}=-1,c_{2}=-6

Con estos términos podemos ahora hallar:\left|\mathsf{A}\right|,\left|\mathsf{\tilde{A}}\right|_{x'}\left|\mathsf{\tilde{A}}\right|_{y}

\left|\boldsymbol{A}\right|=\left|\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\ a_{2}&b_{2}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}3&5\\ 4&-1\end{matrix}\right|=3(-1)-4(5)=-3-20=-23

\left|\mathbf{A}\right|_{x}=\left|\begin{matrix}c_{1}&b_{1}\\ c_{2}&b_{2}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}7&5\\ -6&-1\end{matrix}\right|=7(-1)-(-6)(5)=-7+30=23

\left|\mathbf{A}\right|_{y}=\left|\begin{matrix}a_{1}&c_{1}\\ a_{2}&c_{2}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}3&7\\ 4&-6\end{matrix}\right|=3(-6)-4(7)=-18-28=-46

Cuando tenemos los diferentes valores, podemos hallar x y y

x=\frac{\left|\boldsymbol{A}\right|_{x}}{\left|\boldsymbol{A}\right|}=\frac{23}{-23}=-1\quad y\quad y=\frac{\left|\boldsymbol{A}\right|_{y}}{\left|\boldsymbol{A}\right|}=\frac{-46}{-23}=2

Matemáticas· Grado 9

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