Ejercicios: aceleración angular, polea, proyectiles y movimiento armónico

Un motor frena de forma uniformemente retardada: pasa de 150 R.P.M. a 90 R.P.M. en 1 minuto. Calcular la aceleración angular.

1. Convertimos las velocidades angulares a rad/s. Como 1 \, \text{rev} = 2\pi \, \text{rad} y 1 \, \text{min} = 60 \, \text{s}:

\omega_1 = 150 \, \frac{\text{rev}}{\text{min}} = 150 \times \frac{2\pi}{60} = 5\pi \approx 15.71 \, \text{rad/s}

\omega_2 = 90 \, \frac{\text{rev}}{\text{min}} = 90 \times \frac{2\pi}{60} = 3\pi \approx 9.42 \, \text{rad/s}

2. El intervalo de tiempo es \Delta t = 1 \, \text{min} = 60 \, \text{s}.

3. Aplicamos la definición de aceleración angular media:

\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{\Delta t} = \frac{3\pi - 5\pi}{60} = \frac{-2\pi}{60} = -\frac{\pi}{30} \, \text{rad/s}^{2}

4. También pudo calcularse en revoluciones: \alpha = \dfrac{90-150}{60} = -1 \, \text{rev/min}^{2}, y convertir: -1 \times \frac{2\pi}{60} = -\frac{\pi}{30} \, \text{rad/s}^{2}.

El signo negativo indica que la aceleración angular va en sentido contrario a la rotación (desaceleración).

Dos masas M_1 = 6 \, \text{kg} y M_2 = 10 \, \text{kg} penden de una polea (máquina de Atwood). Calcular la tensión y la aceleración del sistema.

1. Como M_2 > M_1, la masa M_2 desciende y M_1 asciende, ambas con la misma aceleración a. El hilo es inextensible y la polea sin rozamiento, por lo que la tensión T es igual en ambos lados.

2. Ecuaciones de Newton (tomando g = 10 \, \text{m/s}^{2} y el sentido positivo en la dirección del movimiento):

Para M_2 (desciende): \quad M_2 g - T = M_2 a

Para M_1 (asciende): \quad T - M_1 g = M_1 a

3. Sumamos ambas ecuaciones para eliminar T:

M_2 g - M_1 g = M_1 a + M_2 a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{(M_2 - M_1)g}{M_1 + M_2}

4. Sustituimos los valores:

a = \frac{(10 - 6) \times 10}{6 + 10} = \frac{4 \times 10}{16} = \frac{40}{16} = 2.5 \, \text{m/s}^{2}

5. Despejamos la tensión desde la ecuación de M_1:

T = M_1 (g + a) = 6 \times (10 + 2.5) = 6 \times 12.5 = 75 \, \text{N}

6. Verificación con la ecuación de M_2: T = M_2 (g - a) = 10 \times (10 - 2.5) = 75 \, \text{N} (coincide).

¿Con qué velocidad mínima debe salir el ciclista de la rampa para cruzar un obstáculo de 10 \, \text{m}? (Se lanza formando 30^\circ con la horizontal, con g = 10 \, \text{m/s}^{2}.)

1. El ciclista describe un movimiento de proyectil. Sus componentes iniciales son:

v_{0x} = v_0 \cos 30^\circ, \qquad v_{0y} = v_0 \sin 30^\circ

2. La altura de caída es despreciable frente a la distancia (se exige alcanzar la rampa opuesta), por lo que el alcance horizontal máximo es:

R = \frac{v_0^{2} \sin(2\theta)}{g} = \frac{v_0^{2} \sin(60^\circ)}{g}

3. Igualamos R = 10 \, \text{m}:

10 = \frac{v_0^{2} \times 0.866}{10} \quad \Rightarrow \quad v_0^{2} = \frac{100}{0.866} = 115.5

4. Despejamos v_0:

v_0 = \sqrt{115.5} \approx 10.75 \, \text{m/s}

Movimiento armónico simple con amplitud A = 0.2 \, \text{m} y periodo T = 3 \, \text{s}. Calcular la velocidad máxima.

1. Calculamos la frecuencia angular:

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.094 \, \text{rad/s}

2. La velocidad en un MAS es v(t) = -\omega A \sin(\omega t + \varphi); su magnitud máxima ocurre cuando \sin(\omega t + \varphi) = \pm 1:

v_{\text{máx}} = \omega A

3. Sustituimos:

v_{\text{máx}} = \frac{2\pi}{3} \times 0.2 = \frac{0.4\pi}{3} \approx 0.419 \, \text{m/s}

4. Verificación: \omega = \dfrac{v_{\text{máx}}}{A} = \dfrac{0.419}{0.2} \approx 2.094 \, \text{rad/s}, que corresponde a T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 3 \, \text{s}.