(2.c) Determinar cuál de las siguientes desintegraciones pueden presentarse de manera espontánea y justificar: (i) ^40_20Ca e^++^40_19K; (ii) ^98_44Ru^4_2He+^94_42Mo; (iii) ^144_60Nd^4_2He+^140_58Ce.

Sólo es espontánea: ^144_60Nd^4_2He+^140_58Ce (Q≈+1,95 MeV)

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Desintegración radioactiva: actividad, constante y semidesintegración

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Respuesta rápida

2.a) $t\approx 10{,}1\,\text{días}$ . 2.b.i) $\lambda\approx 0{,}693\,\text{día}^{-1}$ . 2.b.ii) $T_{1/2}=1\,\text{día}$ . 2.c) Sólo es espontánea la emisión $^{144}\text{Nd}\to{}^{4}\text{He}+{}^{140}\text{Ce}$ ( $Q\approx+1{,}95\,\text{MeV}$ ); las otras tienen $Q<0$ .

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Solución — Página 240

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 2

a

Una muestra de $^{131}\text{I}$ (vida media $T_{1/2}=8{,}04\,\text{días}$ ) sale con actividad $A_0=5{,}0\,\text{mCi}$ y llega al laboratorio con $A=2{,}1\,\text{mCi}$ . ¿Cuánto tiempo transcurrió?

La ley de emisión radioactiva es $N=N_0 e^{-\lambda t}$ ; como la actividad es $A=\lambda N$ , se cumple también $A=A_0 e^{-\lambda t}$ .
La constante radioactiva se obtiene de la vida media: $\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{0{,}6931}{8{,}04\,\text{días}}=0{,}08621\,\text{días}^{-1}$ .
Se despeja $t$ : $ $A=A_0e^{-\lambda$ $t}\Rightarrow$ $\dfrac{A}{A_0}=e^{-\lambda$ $t}\Rightarrow$ $t=-\dfrac{1}{\lambda}\ln\!\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$ $.
Se sustituyen los valores: $t=-\dfrac{1}{0{,}08621\,\text{días}^{-1}}\ln\!\left(\dfrac{2{,}1}{5{,}0}\right)=-11{,}60\ln(0{,}42)$ .
Como $\ln(0{,}42)=-0{,}8675$ , resulta $t=11{,}60\times 0{,}8675=10{,}06\,\text{días}$ (equivalente a $\approx 241{,}5\,\text{h}$ ).

Respuesta

$t\approx 10{,}1\,\text{días}$ transcurrieron entre las dos mediciones.

Ejercicio 2

b

El número de núcleos se reduce a la mitad en un día, es decir $T_{1/2}=1\,\text{día}$ .

Parte 2.b

i — Constante radioactiva

De $N=N_0e^{-\lambda t}$ , al ser $t=T_{1/2}$ , $N=N_0/2$ :
$\dfrac{N_0}{2}=N_0e^{-\lambda T_{1/2}}\Rightarrow \dfrac{1}{2}=e^{-\lambda T_{1/2}}$ .
Aplicando logaritmo natural: $-\ln 2=-\lambda T_{1/2}\Rightarrow \lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$ .
Sustitución: $\lambda=\dfrac{0{,}6931}{1\,\text{día}}=0{,}693\,\text{día}^{-1}$ (≈ $8{,}02\times10^{-6}\,\text{s}^{-1}$ ).

Respuesta

$\lambda\approx 0{,}693\,\text{día}^{-1}$ .

Parte 2.b

ii — Período de semidesintegración

La hipótesis del enunciado establece literalmente que $N$ alcanza $N_0/2$ en un día.
Por definición, ese tiempo es precisamente el período de semidesintegración.
Se verifica con $T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}=\dfrac{0{,}6931}{0{,}693\,\text{días}^{-1}}=1{,}00\,\text{día}$ .

Respuesta

$T_{1/2}=1\,\text{día}$ .

Ejercicio 2

c

Se analiza cada reacción con el balance de números másico $A$ y atómico $Z$ y con la energía cinética total liberada $Q=\Delta m\,c^2$ (se usa $1\,\text{u}=931{,}5\,\text{MeV}/c^2$ y masas atómicas: $M(^{40}\text{Ca})=39{,}9626\,\text{u}$ , $M(^{40}\text{K})=39{,}9640\,\text{u}$ , $M(^{98}\text{Ru})=97{,}9066\,\text{u}$ , $M(^{94}\text{Mo})=93{,}9051\,\text{u}$ , $M(^{144}\text{Nd})=143{,}9101\,\text{u}$ , $M(^{140}\text{Ce})=139{,}9054\,\text{u}$ , $M(^4\text{He})=4{,}0026\,\text{u}$ , $m_e=0{,}0005486\,\text{u}$ ).

Reacción i) $^{40}_{20}\text{Ca}\rightarrow e^+ +{}^{40}_{19}\text{K}$ : los balances se conservan ( $A: 40\to0+40$ ; $Z:20\to1+19$ ), pero $Q=39{,}9626-39{,}9640-2(0{,}0005486)=-0{,}0025\,\text{u}\Rightarrow Q\approx-2{,}33\,\text{MeV}<0$ : no es espontánea. (De hecho, el isótopo estable es el $^{40}\text{Ca}$ , que se desintegra hacia él desde $^{40}\text{K}$ .).
Reacción ii) $^{98}_{44}\text{Ru}\rightarrow^{4}_{2}\text{He}+{}^{94}_{42}\text{Mo}$ : balances correctos ( $98\to4+94$ ; $44\to2+42$ ), pero $Q=97{,}9066-93{,}9051-4{,}0026=-0{,}0011\,\text{u}\Rightarrow Q\approx-1{,}0\,\text{MeV}<0$ : no es espontánea.
Reacción iii) $^{144}_{60}\text{Nd}\rightarrow^{4}_{2}\text{He}+{}^{140}_{58}\text{Ce}$ : balances correctos ( $144\to4+140$ ; $60\to2+58$ ) y además $Q=143{,}9101-139{,}9054-4{,}0026=+0{,}0021\,\text{u}\Rightarrow Q\approx+1{,}95\,\text{MeV}>0$ : es espontánea (emisión α).
Criterio general: una desintegración es espontánea si y solo si conserva $A$ , $Z$ y la carga eléctrica y si $Q>0$ ; en caso contrario, el proceso requiere energía aportada desde el exterior.

Respuesta

Sólo se presenta espontáneamente la tercera reacción, $^{144}_{60}\text{Nd}\rightarrow^{4}_{2}\text{He}+{}^{140}_{58}\text{Ce}$ , porque $Q\approx +1{,}95\,\text{MeV}>0$ ; las otras dos tienen $Q<0$ .

Contenido de la página

2. Leo el problema y realizo las actividades

a) Una muestra del isótopo $^{131}\text{I}$ que tiene una vida media de $8{,}04\,\text{días}$ posee una actividad de $5{,}0\,\text{mCi}$ en el tiempo de embarque. Al recibir la muestra en un laboratorio médico, la actividad es de $2{,}1\,\text{mCi}$ . ¿Cuánto tiempo transcurrió entre las dos mediciones?

Fuente: (Serway, 2008).

b) Si se sabe que el número de núcleos radioactivos de una muestra se reduce a la mitad de su valor inicial en un día, resuelvo lo siguiente:

i) Hallo la constante radioactiva mediante la ley de emisión radioactiva.

ii) Determino el período de semidesintegración.

c) Determino ¿cuál de las siguientes desintegraciones pueden presentarse de manera espontánea? Justifico mi respuesta.

i) ${}^{40}_{20}\text{Ca}\rightarrow e^{+}+{}^{40}_{19}\text{K}$

${}^{98}_{44}\text{Ru}\rightarrow{}^{4}_{2}\text{He}+{}^{94}_{42}\text{Mo}$

${}^{144}_{60}\text{Nd}\rightarrow{}^{4}_{2}\text{He}+{}^{140}_{58}\text{Ce}$

Fuente: (Serway, 2008).

Ejemplos resueltos

Una muestra de $^{131}\text{I}$ con $T_{1/2}=8{,}04\,\text{días}$ parte con $A_0=5{,}0\,\text{mCi}$ y llega con $A=2{,}1\,\text{mCi}$ . Calcular el tiempo transcurrido.

$\lambda=\dfrac{0{,}6931}{8{,}04}=0{,}08621\,\text{días}^{-1}$ . Luego $t=-\dfrac{1}{\lambda}\ln\!\left(\dfrac{2{,}1}{5{,}0}\right)=10{,}06\,\text{días}\approx 10{,}1\,\text{días}$ .

Tabla

Reacción	Conserva A y Z	Q (MeV)	¿Espontánea?
$^{40}_{20}\text{Ca}\rightarrow e^{+}+{}^{40}_{19}\text{K}$	Sí	−2,33	No
$^{98}_{44}\text{Ru}\rightarrow{}^{4}_{2}\text{He}+{}^{94}_{42}\text{Mo}$	Sí	−1,0	No
$^{144}_{60}\text{Nd}\rightarrow{}^{4}_{2}\text{He}+{}^{140}_{58}\text{Ce}$	Sí	+1,95	Sí

Diagrama

graph LR
    A[Actividad A0 = 5,0 mCi] -->|t = 10,1 días<br/>λ = 0,08621 día⁻¹| B[Actividad A = 2,1 mCi]
    B -->|λ = 0,693 día⁻¹<br/>T½ = 1 día| C[N = N0/2]

Fórmulas y ecuaciones

Ley de emisión radioactiva: $N=N_0e^{-\lambda t}$

Actividad: $A=\lambda N$

Relación constante–semidesintegración: $\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$

N = $N_0$ $e^{-\lambda$ t}

A = $\lambda$ N = $A_0$ $e^{-\lambda$ t}

$\lambda$ = $\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

t = - $\frac{1}{\lambda}@@MATH_0@@\frac{A}{A_0}$ $\right)$

Q = $\Delta$ m $\$ , $c^2$ = $\Delta$ m $\$ , $(931{,}5\$ , $\text{MeV}$ / $\text{u}$ )

Glosario (5)

Actividad radiactiva: Número de desintegraciones por unidad de tiempo de una muestra; se mide en becquerel (Bq) o en milicurie (mCi), con A = λN.
Constante radioactiva (λ): Probabilidad de desintegración por unidad de tiempo de un núcleo; tiene unidades de inverso de tiempo.
Período de semidesintegración: Tiempo en el que el número de núcleos de una muestra se reduce a la mitad; T_{1/2} = ln2/λ.
Energía Q de desintegración: Energía cinética total liberada en una reacción nuclear, Q = Δm·c²; si Q > 0 el proceso es espontáneo.
Emisión α (alfa): Desintegración que emite un núcleo de helio (⁴₂He), reduciendo en 4 el número másico y en 2 el número atómico del núcleo padre.

Preguntas para practicar

¿Por qué la actividad de una muestra disminuye con el tiempo aunque el número total de átomos del material prácticamente no cambia?

Porque la actividad depende de los núcleos que sí son radiactivos: cada año se desintegran unos cuantos millones de átomos, cifra insignificante frente a los ~10²⁰ átomos de la muestra, pero suficiente para que la actividad (desintegraciones por segundo) disminuya exponencialmente con la constante λ del isótopo.

¿Qué ocurriría con la actividad de una muestra si su temperatura aumentara considerablemente?

Prácticamente nada: la constante radioactiva y la actividad no dependen de la temperatura, la presión, el estado de agregación ni de la composición química, porque el proceso ocurre en el núcleo atómico. Sólo las reacciones químicas y biológicas se afectan con la temperatura.

Temas y conceptos clave

Desintegración radioactivaActividad y constante radioactivaPeríodo de semidesintegraciónCriterio de espontaneidad de una reacción nuclearActividad (mCi)Constante radioactiva λVida media / período de semidesintegraciónLey exponencial de desintegraciónEnergía Q (Q-value)Conservación de A y Z

Fuentes y referencias

Serway, R. (2008). Física (edición universitaria). Editorial Thomson.
Tablas de masas atómicas (AME / NIST): valores de masas atómicas de ⁴⁰Ca, ⁴⁰K, ⁹⁸Ru, ⁹⁴Mo, ¹⁴⁴Nd, ¹⁴⁰Ce y ⁴He.

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el tiempo transcurrido a partir de dos actividades medidas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué relación existe entre la constante radioactiva y el período de semidesintegración?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se determina si una desintegración nuclear es espontánea?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Función exponencial y logaritmo natural
• Número de masa y número atómico de un núcleo
• Equivalencia masa-energía 1 u = 931,5 MeV/c²
• Balance de conservación de A y Z en reacciones nucleares

Siguiente tema sugerido

Cadena de desintegraciones y actividad de una muestra en equilibrio radioactivo; fision y fusión nuclear.

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Leo el problema y realizo las actividades:

a) Una muestra del isótopo. 131] que tiene una vida media de 8,04 días, posee una actividad de 5,0 mCi en el tiempo de embarque. Al recibir la muestra en un laboratorio médico, la actividad es de 2,1 mCi. ¿Cuánto tiempo transcurrió entre las dos mediciones?

Fuente: (Serway, 2008).

b) Si se sabe que el número de núcleos radioactivos de una muestra se reduce a la mitad de su valor inicial en un día, resuelvo lo siguiente:

i) Hallo la constante radioactiva mediante la ley de emisión radioactiva.

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ii) Determino el período de semidesintegración. 7

X y

c) Determino ¿cuál de las siguientes desintegraciones pueden presentarse de manera espontánea? Justifico mi respuesta. y ~

40, +, 40 i) ¿pla > e” + jgK

¿¿Ru > 3He + ¿3Mo

144Nd > ¿He + MH0Ce

Fuente: (Serway, 2008).

Texto de Física | 539