Ministerio de Educación del Ecuador

242/274

Radiactividad: datación con carbono-14 y captura de electrones en oro

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 242

242 de 274

Anterior Página 242 / 274 Siguiente

Respuesta rápida

1.a: Desintegración beta del ¹⁴C (t½ = 5730 a) con N = N₀e^(−λt). 1.b: t = (1/λ)·ln(A₀/A) (ej.: 25 % de actividad → ≈ 11 460 años). 2.a: ¹⁷⁹₇₉Au + ⁰₋₁e → ¹⁷⁹₇₈Pt* → ¹⁷⁹₇₈Pt + e⁻. 2.b: $E_max$ ≈ 78,4 keV ≈ 1,3×10⁻¹⁴ J.

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 242

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 1

a) Investigo en qué consisten las pruebas de carbono 14 para determinar el tiempo de vida de materiales que contienen carbono.

El carbono-14 ( $^{14}_{6}\mathrm{C}$ ) es un isótopo radiactivo que se produce en la atmósfera por el bombardeo de nitrógeno con neutrones cósmicos: $^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{1}_{0}\mathrm{n} \rightarrow {}^{14}_{6}\mathrm{C} + {}^{1}_{1}\mathrm{p}$
El $^{14}\mathrm{C}$ se oxida a $^{14}\mathrm{CO}_{2}$ y entra en la cadena alimentaria; por tanto, un organismo vivo mantiene constante la relación $^{14}\mathrm{C}/^{12}\mathrm{C}$ (aprox. $1{,}2\times10^{-12}$ átomos de $^{14}\mathrm{C}$ por cada átomo de $^{12}\mathrm{C}$ ).
El $^{14}\mathrm{C}$ se desintegra por emisión beta menos con período medio $t_{1/2}=5730\ \text{a}$ : $^{14}_{6}\mathrm{C} \rightarrow {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{0}_{-1}\beta + \bar{\nu}_{e}$
Al morir el organismo deja de incorporar $^{14}\mathrm{C}$ , pero su desintegración continúa. Mientras más viejo es el material, menor es la actividad (cantidad de desintegraciones por unidad de tiempo) que se mide con un contador Geiger o espectrómetro.
La cantidad de átomos vivos decrece según la ley exponencial: $N(t) = N_{0}\,e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5730\ \text{a}} = 1{,}21\times10^{-4}\ \text{a}^{-1}$
Despejando $t$ : $\boxed{t = \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{N_{0}}{N}\right) = \frac{t_{1/2}}{\ln 2}\,\ln\!\left(\frac{N_{0}}{N}\right)}$
El método es válido hasta unos 50 000 años, porque más allá queda tan poco $^{14}\mathrm{C}$ que la medida no es fiable.

Respuesta orientativa: El método consiste en comparar la actividad radiactiva residual de una muestra con la actividad que tendría un organismo vivo de la misma especie; la diferencia se explica por la desintegración beta del carbono-14 ( $t_{1/2}=5730\ \text{a}$ ), y el tiempo transcurrido se obtiene con $t=\frac{t_{1/2}}{\ln2}\ln(N_{0}/N)$ .

Ejercicio 1

b) Determino hace cuánto tiempo murió el árbol del que proviene este carbón.

Datos del experimento (el resultado numérico se informa en la página previa): se mide la actividad $A$ de la muestra y se la compara con la actividad inicial $A_{0}$ del carbón en vida.
Como $A=\lambda N$ , la razón de actividades coincide con la razón de átomos: $\frac{A}{A_{0}} = \frac{\lambda N}{\lambda N_{0}} = \frac{N}{N_{0}}$
Sustitución en la ecuación de la ley de desintegración: $A = A_{0}\,e^{-\lambda t} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{A_{0}}{A}\right)$
Ejemplo orientativo: si la muestra presenta $25\%$ de la actividad original, es decir $N/N_{0}=0{,}25$ , $t = \frac{5730\ \text{a}}{0{,}693}\ln\!\left(\frac{1}{0{,}25}\right) = 5730\ \text{a} \times \frac{1{,}386}{0{,}693} = 5730\ \text{a}\times 2$
Resultado del ejemplo: $t = 2t_{1/2} = 2\times 5730\ \text{a} = 11\,460\ \text{a}$ Es decir, el árbol habría muerto hace aproximadamente 11 460 años.

Respuesta orientativa: Usando $t=\frac{1}{\lambda}\ln(A_{0}/A)$ con $λ=1{,}21 imes10^{-4}\ \text{a}^{-1}$ y la actividad medida de la muestra, se obtiene el tiempo transcurrido desde la muerte del árbol (en el ejemplo, $11\,460\ \text{a}$ ).

Ejercicio 2

Enunciado: El oro natural tiene solo un isótopo, $^{179}_{79}\mathrm{Au}$ . Si se irradia el oro natural con un flujo de electrones lentos, se produce una emisión de electrones:

Parte 2.a

Escribo la ecuación de la reacción.

Un electrón lento puede ser capturado por el núcleo (captura orbital). Se equilibran la masa atómica y la carga:
- Masa: $179 + 0 = 179$
- Número atómico: $79 + (-1) = 78$
Por lo tanto el núcleo resultante es $^{179}_{78}\mathrm{Pt}$ , que aparece en estado excitado (niveles vacantes): $^{179}_{79}\mathrm{Au} + {}^{0}_{-1}\mathrm{e} \;\rightarrow\; {}^{179}_{78}\mathrm{Pt}^{*}$
El átomo excitado se estabiliza reordenando sus electrones; un electrón de un nivel superior ocupa el hueco interno y la diferencia de energías se libera arrancando (efecto Auger) a otro electrón, que sale con energía cinética: $^{179}_{78}\mathrm{Pt}^{*} \;\rightarrow\; {}^{179}_{78}\mathrm{Pt} + {}^{0}_{-1}\mathrm{e}^{-}_{\text{(Auger)}}$
Ecuación completa de la reacción: $^{179}_{79}\mathrm{Au} + {}^{0}_{-1}\mathrm{e} \;\rightarrow\; {}^{179}_{78}\mathrm{Pt} + {}^{0}_{-1}\mathrm{e}^{-}_{\text{(emitido)}}$

Respuesta

$^{179}_{79}\mathrm{Au} + {}^{0}_{-1}\mathrm{e} \rightarrow {}^{179}_{78}\mathrm{Pt}^{*} \rightarrow {}^{179}_{78}\mathrm{Pt} + {}^{0}_{-1}\mathrm{e}^{-}$ (el átomo pierde un electrón de capa interna, que se emite como electrón Auger).

Parte 2.b

Calculo la energía máxima de los electrones emitidos.

El electrón emitido recibe como máximo la energía de enlace del electrón interno que ocupa el hueco creado en el átomo de platino (el electrón de mayor energía posible de ese nivel es el que sale, en la transición K).
El valor de referencia para el nivel $K$ del platino es: $E_{K}(\mathrm{Pt}) \approx 78{,}4\ \text{keV}$
Conversión a julios, con $1\ \text{keV}=10^{3}\ \text{eV}$ y $1\ \text{eV}=1{,}602\times10^{-19}\ \text{J}$ : $E_{\max}=78{,}4\times10^{3}\ \text{eV}\times 1{,}602\times10^{-19}\ \text{J/eV}$
Multiplicación: $E_{\max}=78{,}4\times1{,}602\times10^{-16}\ \text{J}=1{,}256\times10^{-14}\ \text{J}$
Resultado: $\boxed{E_{\max}\approx 1{,}3\times10^{-14}\ \text{J} \equiv 78{,}4\ \text{keV}}$ (equivalente a unos $7{,}8\times10^{4}\ \text{eV}$ por electrón emitido).

Respuesta

$E_{\max}=E_{K}(\mathrm{Pt})\approx 78{,}4\ \text{keV}\approx 1{,}3\times10^{-14}\ \text{J}$ .

Contenido de la página

1. a) Investigo en qué consisten las pruebas de carbono 14 para determinar el tiempo de vida de materiales que contienen carbono.

El carbono-14 se produce en la atmósfera al interactuar el nitrógeno con neutrones cósmicos: $^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{1}_{0}\mathrm{n} \rightarrow {}^{14}_{6}\mathrm{C} + {}^{1}_{1}\mathrm{p}$ . Los organismos vivos mantienen una relación $^{14}\mathrm{C}/^{12}\mathrm{C}$ constante (aprox. $1{,}2\times10^{-12}$ ), pero al morir dejan de incorporar $^{14}\mathrm{C}$ y este se desintegra por emisión beta:

$^{14}_{6}\mathrm{C} \rightarrow {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{0}_{-1}\beta + \bar{\nu}_{e}, \qquad t_{1/2}=5730\ \text{a}$

La ley de desintegración es $N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}$ con $\lambda=\ln 2/t_{1/2}=1{,}21\times10^{-4}\ \text{a}^{-1}$ , y la antigüedad se obtiene como $t=\frac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln(N_{0}/N)$ . El método alcanza unos 50 000 años.

1. b) Determino hace cuánto tiempo murió el árbol del que proviene este carbón.

La actividad medida se compara con la actividad original: $A=\lambda N$ y $A_{0}=\lambda N_{0}$ , de modo que $A/A_{0}=N/N_{0}$ . Sustituyendo en la ley de desintegración:

$t=\frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{A_{0}}{A}\right)$

Ejemplo: si la muestra presenta $25\%$ de la actividad original, $\ln(1/0{,}25)=\ln 4=1{,}386$ , luego $t=5730\ \text{a}\times\frac{1{,}386}{0{,}693}=2\times5730\ \text{a}=11\,460\ \text{a}$ .

2. Enunciado: El oro natural tiene solo un isótopo, $^{179}_{79}\mathrm{Au}$ . Si se irradia el oro natural con un flujo de electrones lentos, se produce una emisión de electrones.

2. a) Escribo la ecuación de la reacción.

Captura del electrón lento: $^{179}_{79}\mathrm{Au} + {}^{0}_{-1}\mathrm{e} \rightarrow {}^{179}_{78}\mathrm{Pt}^{*}$ (masa: $179+0=179$ ; número atómico: $79-1=78$ ). El platino excitado se estabiliza mediante el efecto Auger, emitiendo un electrón de capa interna: $^{179}_{78}\mathrm{Pt}^{*}\rightarrow{}^{179}_{78}\mathrm{Pt}+{}^{0}_{-1}\mathrm{e}^{-}$ .

2. b) Calculo la energía máxima de los electrones emitidos.

La energía máxima que recibe el electrón Auger es la energía de enlace del electrón del nivel K: $E_{K}(\mathrm{Pt})\approx78{,}4\ \text{keV}$ . En julios: $78{,}4\times10^{3}\ \text{eV}\times1{,}602\times10^{-19}\ \text{J/eV}=1{,}26\times10^{-14}\ \text{J}$ .

Ejemplos resueltos

Un carbón muestra el 25% de la actividad radiactiva que tendría un organismo vivo. ¿Cuánto tiempo hace que murió el árbol? (t½ = 5730 a)

$\lambda=\ln2/5730\ \text{a}=1{,}21\times10^{-4}\ \text{a}^{-1}$ . Como $N/N_{0}=0{,}25$ , entonces $t=\frac{1}{\lambda}\ln(1/0{,}25)=\frac{\ln 4}{\lambda}=\frac{1{,}386}{1{,}21\times10^{-4}\ \text{a}^{-1}}\approx 11\,460\ \text{a}$ , es decir, $t=2t_{1/2}$ .

Se irradia ¹⁷⁹Au con electrones lentos; se emiten electrones. Escribir la ecuación y hallar la energía máxima.

$^{179}_{79}\mathrm{Au}+{}^{0}_{-1}\mathrm{e}\rightarrow{}^{179}_{78}\mathrm{Pt}^{*}$ ; luego $^{179}_{78}\mathrm{Pt}^{*}\rightarrow{}^{179}_{78}\mathrm{Pt}+{}^{0}_{-1}\mathrm{e}^{-}$ . La energía máxima del electrón Auger es la energía de enlace del nivel K del platino: $E_{\max}\approx78{,}4\ \text{keV}=1{,}26\times10^{-14}\ \text{J}$ .

Tabla

Magnitud	Símbolo	Valor usado	Unidad
Periodo medio del carbono-14	$t_{1/2}$	5730	años
Constante de desintegración	$\lambda$	$1{,}21\times10^{-4}$	$\text{a}^{-1}$
Relación ¹⁴C/¹²C en organismos vivos	$N_{0}/N(^{12}\mathrm{C})$	$1{,}2\times10^{-12}$	átomos/átomo
Energía de enlace K del platino	$E_{K}$	78,4	keV
Equivalencia de energía	$1\ \text{eV}$	$1{,}602\times10^{-19}$	J
Energía máxima de los electrones emitidos	$E_{\max}$	$1{,}26\times10^{-14}$	J

Diagramas (2)

flowchart LR
  A[Organismo vivo] -->|absorbe ¹⁴C| B[Relación ¹⁴C/¹²C constante]
  B -->|muerte del organismo| C[Detención de la incorporación de ¹⁴C]
  C --> D[Desintegración β del ¹⁴C]
  D --> E[Actividad residual A = A₀e^(-λt)]
  E --> F[Cálculo de la antigüedad t = (1/λ)·ln(A₀/A)]

flowchart TB
  X[¹⁷⁹₇₉Au + e⁻ lento] --> Y[Captura orbital]
  Y --> Z[¹⁷⁹₇₈Pt* núcleo excitado]
  Z --> P[Transición de electrones interiores]
  P --> Q[Emisión Auger: e⁻ con E_max ≈ 78,4 keV]
  P --> R[¹⁷⁹₇₈Pt en estado fundamental]

Fórmulas y ecuaciones

N(t) = $N_{0}\,e^{-\lambda$ t}

$\lambda$ = $\frac{\ln 2}{t_{1/2}}$

t = $\frac{1}{\lambda}@@MATH_0@@\frac{N_{0}}{N}$ $\right)$

A = $\lambda$ N

$E_{\max}=E_{K}(@@MATH_0@@)\approx$ 78{,}4\ $\text{keV}$

$^{14}_{7}@@MATH_0@@\mathrm{n}$ $\rightarrow$ ${}^{14}_{6}@@MATH_1@@\mathrm{p}$

$^{14}_{6}@@MATH_0@@\mathrm{N}$ + ${}^{0}_{-1}\beta$ + $\bar{\nu}$ $_{e}$

N(t) = $N_{0}\,e^{-\lambda$ t}

$\lambda$ = $\frac{\ln 2}{t_{1/2}}$ = $\frac{0{,}693}{5730\ \text{a}}$ = $1{,}21\times10^{-4}\$ $\text{a}$ $^{-1}$

t = $\frac{t_{1/2}}{\ln 2}@@MATH_0@@\frac{N_{0}}{N}$ $\right)$

A = $\lambda$ N $\;\Rightarrow\$ ; t = $\frac{1}{\lambda}@@MATH_0@@\frac{A_{0}}{A}$ $\right)$

$^{179}_{79}@@MATH_0@@\mathrm{e}$ $\rightarrow$ ${}^{179}_{78}@@MATH_1@@^{*}$

$^{179}_{78}@@MATH_0@@^{*}$ $\rightarrow$ ${}^{179}_{78}@@MATH_1@@\mathrm{e}$ $^{-}$

$E_{\max}=78{,}4\times10^{3}\$ $\text{eV}$ $\times$ $1{,}602\times10^{-19}\$ $\text{J/eV}$ = $1{,}26\times10^{-14}\$ $\text{J}$

Glosario (8)

Carbono-14: Isótopo radiactivo del carbono (¹⁴₆C) producido por neutrones cósmicos, que se desintegra por emisión beta con periodo medio de 5730 años.
Periodo medio (vida media): Tiempo necesario para que se desintienda la mitad de los átomos de una muestra radiactiva; se simboliza t½.
Constante de desintegración: Probabilidad de desintegración por unidad de tiempo de un núcleo radiactivo, λ = ln2/t½.
Actividad radiactiva: Número de desintegraciones que ocurren por unidad de tiempo en una muestra; A = λN, se mide en becquerel (1 Bq = 1 desintegración/s).
Captura de electrones: Proceso nuclear en el que un átomo capta un electrón orbital (normalmente de la capa K) y el número atómico disminuye en una unidad.
Efecto Auger: Emisión de un electrón orbital cuando un electrón de un nivel superior llena un hueco interno y la energía liberada arranca a otro electrón del átomo.
Platino-179: Núcleo que resulta de la captura de un electrón por el oro-179 (Z = 79 → Z = 78), en estado excitado.
keV (kilo electrón-voltio): Unidad de energía equivalente a 10³ eV; 1 eV = 1,602×10⁻¹⁹ J.

Preguntas para practicar

¿En qué consisten las pruebas de carbono 14 para determinar el tiempo de vida de materiales que contienen carbono?

Consisten en medir la actividad radiactiva residual de la muestra y compararla con la actividad que tendría el material en vida. Como el ¹⁴C se desintegra con un periodo medio de 5730 años según N = N₀e^(−λt), la menor actividad indica mayor antigüedad, y con t = (1/λ)·ln(N₀/N) se calcula el tiempo transcurrido desde la muerte del organismo.

¿Por qué se dice que los electrones emitidos por el oro irradiado tienen una energía máxima?

Porque el electrón que se arranca (efecto Auger) recibe como máximo la energía de enlace del electrón interno del nivel K que está involucrado en la transición; esa diferencia de energías es la cota superior de la energía cinética transferida, que en el caso del platino es de unos 78,4 keV.

¿Qué limitación tiene el método del carbono 14 para datar materiales muy antiguos?

Su alcance llega hasta unos 50 000 años porque a partir de ahí el ¹⁴C restante es tan escaso que la actividad medida queda dentro del error experimental; para materiales más antiguos se emplean otros isótopos con periodos medios mayores, como el uranio-238 o el torio-232.

Temas y conceptos clave

Datación por carbono-14Ley de desintegración radiactivaCaptura orbital de electronesEmisión de electrones Augerisótopo radiactivo ¹⁴Cperiodo medio t½ = 5730 añosconstante de desintegración λ = ln2/t½actividad A = λNley N = N₀e^(−λt)captura de electrones lentosnúcleo excitadoefecto Augerenergía de enlace K

Fuentes y referencias

E. F. J., «Métodos de datación: radiocarbono», referencia genérica del capítulo de radiactividad.
Constantes y valores atómicos estándar (NIST) para las energías de enlace de electrones internos del platino.

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se determina la antigüedad de un material orgánico con el método del carbono 14?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué fórmula relaciona el tiempo transcurrido con la cantidad de carbono 14 que queda en una muestra?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué reacción nuclear se produce cuando el oro 179 captura un electrón lento?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Desintegración radiactiva y su ley exponencial N = N₀e^(−λt)
• Concepto de período medio o vida media (t½) y constante de desintegración λ = ln2/t½
• Equilibrio de masa y número atómico en ecuaciones nucleares
• Energía de enlace de electrones atómicos y unidades keV, eV y J

Siguiente tema sugerido

Prácticas de medida de actividad radiactiva y cálculo de antigüedad con contadores Geiger, o propiedades del efecto fotoeléctrico en metales.

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 413 caracteres

a) Investigo en qué consisten las pruebas de carbono 14 para determinar el tiempo de vida de materiales que contienen carbono.

b) Determino hace cuánto tiempo murió el árbol del que proviene este carbón.

179 El oro natural tiene solo un isótopo, 79Au . Si se irradia el oro natural con un flujo de electrones lentos, se produce una emisión de electrones:

a) Escribo la ecuación de la reacción.

Texto de Física

Páginas cercanas