Enunciado: Identifico el núclido o partícula (X) faltante en las siguientes expresiones de procesos de decaimiento (radiaciones alfa, beta y gamma), repitiendo la expresión en los ítems i) a v):

^{14}_{7}\mathrm{N}+^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow\;^{A}_{Z}\mathrm{X}+^{17}_{8}\mathrm{O}

1. Ley de conservación del número másico (nucleones). El total de nucleones del lado izquierdo debe ser igual al del lado derecho: A_{total}=14+4=18.
2. Despejo el número másico de X: 18 = A + 17 \Rightarrow A = 18-17 = 1.
3. Ley de conservación de la carga eléctrica (número atómico). Z_{total}=7+2=9.
4. Despejo el número atómico de X: 9 = Z + 8 \Rightarrow Z = 9-8 = 1.
5. Identificación. El núclido con A=1 y Z=1 es el protón, es decir ^{1}_{1}\mathrm{H} (núcleo de hidrógeno).
6. Verificación. Número másico: 14+4 = 1+17 = 18 \(\checkmark\). Carga: 7+2 = 1+8 = 9 \(\checkmark\).

Reacción completa equilibrada:

^{14}_{7}\mathrm{N}+^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow\;^{1}_{1}\mathrm{H}+^{17}_{8}\mathrm{O}

Observación de integridad: en la imagen los cinco ítems están idénticos y la ecuación impresa trae a X como ^{109}_{47}\mathrm{X} (plata-109). Ese valor no puede ser el núclido buscado, porque 109+17=126\neq 18 y 47+8=55\neq 9: se trata de un error de composición del libro (probablemente un marcador de plantilla no reemplazado). Por consiguiente, el X correcto, obtenido por conservación, es ^{1}_{1}\mathrm{H}.

Nota metodológica (para el caso general de las radiaciones alfa, beta y gamma):

• Desintegración alfa: emite ^{4}_{2}\mathrm{He}, por lo que el núclido hijo disminuye en 4 unidades de masa y 2 de carga. Ejemplo: ^{238}_{92}\mathrm{U}\rightarrow\;^{234}_{90}\mathrm{Th}+^{4}_{2}\mathrm{He}.
• Desintegración beta menos: emite ^{0}_{-1}\mathrm{e} (neutrón → protón); el número másico no cambia y el número atómico aumenta en 1. Ejemplo: ^{14}_{7}\mathrm{C}\rightarrow\;^{14}_{8}\mathrm{N}+^{0}_{-1}\mathrm{e}.
• Desintegración beta más: emite ^{0}_{+1}\mathrm{e} (protón → neutrón); el número másico se mantiene y el número atómico disminuye en 1.
• Transición gamma: no cambia A ni Z; solo baja el estado de excitación del mismo nuclido: ^{99}_{43}\mathrm{Tc}^{*}\rightarrow\;^{99}_{43}\mathrm{Tc}+\gamma.

Enunciado: En un vestigio de una ciudad encontrada en Egipto se analiza un trozo de carbón de 30\,\mathrm{g} de carbono. Los sensores estiman una actividad de ^{14}\mathrm{C} de 300 desintegraciones por minuto. El fragmento pertenece a un árbol desconocido. Se pide estimar su antigüedad (edad).

1. Actividad inicial (carbono vivo). Toda materia viva mantiene una actividad específica moderna de 0,226\,\mathrm{Bq/g}=13{,}56 dpm por gramo de carbono. Para 30\,\mathrm{g}:

A_{0}=13{,}56\,\frac{\mathrm{dpm}}{\mathrm{g}}\times 30\,\mathrm{g}=406{,}8\,\mathrm{dpm}

2. Constante de desintegración. Con T_{1/2}=5730\,\mathrm{años}:

\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0{,}6931}{5730\,\mathrm{años}}=1{,}21\times 10^{-4}\,\mathrm{años}^{-1}=2{,}30\times10^{-10}\,\mathrm{min}^{-1}

3. Relación actividad–número de núcleos A=\lambda N: N_{0}=\dfrac{406{,}8}{2{,}30\times10^{-10}}\approx 1{,}77\times10^{12} núcleos de ^{14}\mathrm{C} vivos y N=\dfrac{300}{2{,}30\times10^{-10}}\approx 1{,}30\times10^{12} núcleos en el presente.

4. Ley de desintegración radioactiva N=N_{0}e^{-\lambda t}; como \lambda es constante, se puede trabajar directamente con las actividades:

\frac{A}{A_{0}}=e^{-\lambda t}\Rightarrow t=\frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{A_{0}}{A}\right)

t=\frac{5730\,\mathrm{años}}{0{,}6931}\,\ln\!\left(\frac{406{,}8}{300}\right)=8267\,\mathrm{años}\times \ln(1{,}356)

t=8267\times 0{,}3046\approx 2520\,\mathrm{años}

6. Control por número de medias vidas: fracción restante =\dfrac{300}{406{,}8}=0{,}737, es decir, el 73{,}7\% del ^{14}\mathrm{C} original. Número de medias vidas: n=\dfrac{\ln(1/0{,}737)}{\ln 2}=\dfrac{0{,}3046}{0{,}6931}\approx 0{,}44; de donde t=0{,}44\times 5730\approx 2520\,\mathrm{años} (coincide).