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Tema 8: Funciones cuadráticas y polinomiales

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Respuesta rápida

5a) $y=18x-28$ ; 5b) $y=15x-64$ ; 5c) $y=-29x-60$ ; 6) el enunciado presenta incompatibilidad entre los puntos y el vértice.

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Solución — Página 22

Matematica 1° · Bgu 1 Matematica 2024 · 2024

Ejercicio 5

a

$f(x)=3x^{2}-1$ ; $f'(x)=6x$ ; en $x=3$ : $f(3)=26$ , $f'(3)=18$ . Tangente: $y-26=18(x-3)\Rightarrow y=18x-28$ .

Ejercicio 5

b

$f(x)=x^{2}-x$ ; $f'(x)=2x-1$ ; en $x=8$ : $f(8)=56$ , $f'(8)=15$ . Tangente: $y-56=15(x-8)\Rightarrow y=15x-64$ .

Ejercicio 5

c

$f(x)=3x^{2}-5x-12$ ; $f'(x)=6x-5$ ; en $x=-4$ : $f(-4)=48+20-12=56$ , $f'(-4)=-29$ . Tangente: $y-56=-29(x+4)\Rightarrow y=-29x-60$ .

Ejercicio 6

La parábola con vértice $A=(1,5)$ tiene forma $f(x)=a(x-1)^{2}+5$ . Debe pasar por $(-3,2)$ : $a(16)+5=2\Rightarrow a=-\tfrac{3}{16}$ . Verificar $(3,-8)$ : $a(4)+5=-\tfrac{3}{4}+5=\tfrac{17}{4}\ne -8$ . Contradicción: los tres puntos no son colineales-vértice. Para $B=(0,-12)$ : $f(x)=a x^{2}-12$ ; en $(-3,2)$ : $9a-12=2\Rightarrow a=\tfrac{14}{9}$ ; verificar $(3,-8)$ : $9\cdot \tfrac{14}{9}-12=2\ne -8$ . También inconsistente. El problema requiere reinterpretar los datos según el enunciado original.

Contenido de la página

Tema 8: Funciones cuadráticas y polinomiales

Pregunta: ¿Cómo identificas una función cuadrática?

¿Sabías qué? Tipos de asíntotas: (1) verticales (denominador tiende a 0), (2) horizontales (grado del numerador ≤ grado del denominador), (3) oblicuas (grado del numerador = grado del denominador + 1).

5. Rectas tangentes

(a) $f(x)=3x^{2}-1$ en $x=3$ . (b) $f(x)=x^{2}-x$ en $x=8$ . (c) $f(x)=3x^{2}-5x-12$ en $x=-4$ .

6. Función cuadrática

Encontrar la función cuadrática que corta a la recta $y=\dfrac{-5x-3}{3}$ en los puntos $(-3,2)$ y $(3,-8)$ y cuyo vértice es: (a) $A(1,5)$ (b) $B(0,-12)$

Fórmulas y ecuaciones

$f(x)=3x^{2}-1$

$f(x)=x^{2}-x$

$f(x)=3x^{2}-5x-12$

$y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})$

Glosario (2)

Recta tangente: Recta que toca a la curva en un punto con la misma pendiente.
Asíntota: Recta a la que se aproxima una función sin cruzarla.

Preguntas para practicar

¿Cómo identificas una función cuadrática?

Temas y conceptos clave

Función cuadráticaRecta tangenteAsíntotasVérticeRecta tangenteAsíntota horizontalAsíntota verticalAsíntota oblicua

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• Derivada de una función polinómica
• Ecuación de la recta

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Tema 8: Funciones cuadráticas y polinomiales

Responde la siguiente pregunta: ¿Cómo identificas una función cuadrática?

¿Sabías qué?

Las asintotas son líneas rectas o curvas a las que una función se acerca cada vez más, pero nun- ca llega a cruzar o tocar. Son límites o comportamientos que la función tiende a seguir a medida que se aleja hacia valores extremos del dominio.

Existen diferentes tipos de asintotas:

Asintotas verticales: Son líneas verticales a las que la función se acerca a medida que el valor de la variable independiente se acerca a un valor específico. La función puede acercarse infinita- mente a la asintota vertical, pero nunca la cruzará. Estas asintotas ocurren cuando el denomina- dor de la función se hace cero o tiende a infinito.
Asintotas horizontales: Son líneas horizontales a las que la función se acerca a medida que el valor de la variable independiente tiende a infinito o menos infinito. La función puede acercarse infinitamente a la asintota horizontal, pero nunca la cruzará. Estas asintotas ocurren cuando el grado del polinomio en el numerador es menor o igual al grado del polinomio en el denominador.
Asintotas oblicuas: Son líneas diagonales a las que la función se acerca a medida que el valor de la variable independiente tiende a infinito o menos infinito. Estas asintotas ocurren cuando el grado del polinomio en el numerador es exactamente uno mayor que el grado del polinomio en el denominador.
Determino las rectas tangentes a las siguientes funciones en los puntos dados: a) f(x)= 3x?-1, cuando x=3

b) f(J=x?-x, Cuando x=8 e) f(x)= 3x?- 5x - 12, Cuando x=-4