Ejercicio 8c y 9: análisis y operaciones con funciones racionales

f(x)=\dfrac{x^{2}-x-6}{x-4}. Al dividir el numerador por (x-4): x^{2}-x-6=(x-4)(x+3)+6; entonces f(x)=x+3+\dfrac{6}{x-4}.

• Dominio: \mathbb{R}\setminus\{4\}.
• Ceros: x^{2}-x-6=0\Rightarrow (x-3)(x+2)=0\Rightarrow x=3,\ x=-2.
• Paridad: no par ni impar.
• Asíntotas: vertical x=4; oblicua y=x+3.
• Monotonía: f'(x)=1-\dfrac{6}{(x-4)^{2}}=0\Rightarrow (x-4)^{2}=6\Rightarrow x=4\pm \sqrt{6}. Creciente para |x-4|>\sqrt{6}; decreciente para |x-4|<\sqrt{6}.
• Extremos: máximo local en x=4-\sqrt{6}; mínimo local en x=4+\sqrt{6}.
• Recorrido: \mathbb{R}.

f(x)=\dfrac{2x+3}{3x-2}, g(x)=\dfrac{4x}{3x-2}. Dominio común: x\ne \tfrac{2}{3}. (a) (f+g)(x)=\dfrac{2x+3+4x}{3x-2}=\dfrac{6x+3}{3x-2}=\dfrac{3(2x+1)}{3x-2}. (b) (f\cdot g)(x)=\dfrac{(2x+3)(4x)}{(3x-2)^{2}}=\dfrac{4x(2x+3)}{(3x-2)^{2}}=\dfrac{8x^{2}+12x}{(3x-2)^{2}}. (c) \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{2x+3}{4x} para x\ne 0,\ \tfrac{2}{3}.