Ejercicios 14-15: gráficas y composición de funciones

(a) y=-\tfrac{1}{4}x+\tfrac{5}{7}: recta decreciente; Dom \mathbb{R}; Rec \mathbb{R}; cero en x=\tfrac{20}{7}; sin extremos; no par ni impar. (b) f(x)=\sqrt{-x+4}: Dom x\le 4; Rec [0,+\infty); cero en x=4; mínimo 0 en x=4; no par ni impar. (c) g(x)=x^{4}-5x^{3}+2x^{2}+8x=x(x^{3}-5x^{2}+2x+8). Buscar raíces: g(0)=0; g(-1)=1+5+2-8=0, luego (x+1) factor: cociente x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4). Así g(x)=x(x+1)(x-2)(x-4); ceros 0,-1,2,4; sin paridad definida. (d) h(x)=|x+1|+|x-2|: Dom \mathbb{R}; en [-1,2] constante igual a 3; fuera crece linealmente; Rec [3,+\infty); mínimo 3 en [-1,2]; par respecto al eje x=1/2 (no par ni impar clásico).

f(x)=\sqrt{4x-x^{2}}, g(x)=x-2. (f\circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{4(x-2)-(x-2)^{2}}=\sqrt{-x^{2}+8x-12}. Dominio: -x^{2}+8x-12\ge 0\Rightarrow x^{2}-8x+12\le 0\Rightarrow (x-2)(x-6)\le 0\Rightarrow x\in[2,6].

f(x)=\sqrt{x+1}, x\in[-1,3]; g(x)=x^{2}+2x, x\in(0,5]. (f\circ g)(x)=\sqrt{x^{2}+2x+1}=|x+1|=x+1 (para x>-1). Como x\in(0,5]: (f\circ g)(x)=x+1 en (0,5], siempre y cuando g(x)\in[-1,3]: x^{2}+2x\le 3\Rightarrow x^{2}+2x-3\le 0\Rightarrow (x+3)(x-1)\le 0\Rightarrow x\in[-3,1]; interseccionar con (0,5]: (0,1]. Solución: (f\circ g)(x)=x+1 en (0,1].

f(x)=|x|-1, g(x)=\dfrac{4x}{x-3}. (f\circ g)(x)=\left|\dfrac{4x}{x-3}\right|-1. Analizando: asíntota vertical x=3; cuando x\to\pm\infty, g(x)\to 4; luego (f\circ g)(x)\to |4|-1=3. Comparando con las figuras A-D, la gráfica correcta es la que tiene asíntota vertical x=3 y asíntota horizontal y=3: opción A o D según los ejes.