Problema: ancho de banda, fibra óptica y resistencia en los cables

Idea clave del problema. El ancho de banda, la velocidad de datos y la fibra óptica dependen de la composición interna y externa del cable.

1. El ancho de banda (frecuencia de transmisión máxima) de un canal de comunicación se relaciona con la atenuación de la señal: a mayor atenuación, menor distancia útil de transmisión y menor ancho de banda aprovechable.
2. La fibra óptica transmite datos modulados en ondas de luz, no en corriente eléctrica, a través de un tubo de vidrio o plástico, por lo que su atenuación es muy pequeña.
3. Consecuencia: para la misma distancia, la fibra óptica soporta un ancho de banda mucho mayor que un cable de cobre convencional.

La distancia máxima de 50 metros y la atenuación de la señal.

1. La atenuación de una señal viajera por un medio se suele expresar como

A\,(\text{dB}) = 10\,\log_{10}\!\left(\frac{P_{\text{salida}}}{P_{\text{entrada}}}\right) = -\alpha\,L

donde \alpha es el coeficiente de atenuación del medio (en dB/m) y L la distancia recorrida. 2. Despejando la potencia recibida: P_{\text{salida}} = P_{\text{entrada}}\cdot 10^{-\alpha L/10}. 3. Si L aumenta, P_{\text{salida}} disminuye exponencialmente; por debajo de cierto umbral el receptor ya no distingue la señal del ruido (efecto S/N insuficiente). 4. Por eso los proveedores limitan la distancia entre el nodo de transmisión y el punto de acceso.

¿Por qué no es prudente usar cables muy largos y gruesos para la transmisión de sonido?

1. Los materiales metálicos del conductor poseen resistividad \rho no nula.
2. La resistencia de un conductor cilíndrico es

R = \rho\,\frac{L}{A}

con L la longitud y A = \pi r^{2} la sección transversal. 3. Un cable más largo implica mayor R; un cable de gran diámetro implica, en cambio, menor R (mayor A), pero también mayor peso, costo y rigidez, además de generar efectos parásitos. 4. Con R elevado aparece caída de voltaje \Delta V = I\,R y se disipa potencia P = I^{2}R en forma de calor, degradando la señal de sonido.

Composición y función de la fibra óptica.

1. Un cable de fibra óptica contiene múltiples filamentos de vidrio (o plástico), cada uno con capacidad de transmitir datos digitales.
2. Los datos se codifican en pulsos luminosos (1 = pulso presente, 0 = ausente) que viajan por reflexión interna total dentro de un tubo de vidrio o plástico.
3. La velocidad de propagación de la luz en el medio es

v = \frac{c}{n}

donde c = 3\times 10^{8}\,\text{m/s} y n el índice de refracción del núcleo (por ejemplo n \approx 1{,}5, de donde v \approx 2\times 10^{8}\,\text{m/s}).

Ejemplo numérico de resistencia (aplicación de R = \rho\,L/A).

Un conductor de cobre (\rho_{\text{Cu}} = 1{,}7\times 10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}) de longitud L = 50\,\text{m} y radio r = 1\,\text{mm}.

1. Sección: A = \pi r^{2} = \pi (1\times 10^{-3})^{2} = 3{,}14\times 10^{-6}\,\text{m}^{2}.
2. Resistencia: R = \rho\,\dfrac{L}{A} = \dfrac{(1{,}7\times 10^{-8})(50)}{3{,}14\times 10^{-6}}.
3. R = \dfrac{8{,}5\times 10^{-7}}{3{,}14\times 10^{-6}} \approx 0{,}27\,\Omega.