— Determino
Enunciado: ¿Cuál es el valor tope de resistencia de un cable coaxial de impedancia 75\,\Omega usado para internet, sabiendo que el nodo de transmisiones debe encontrarse máximo a 50\,\text{m}, con diámetros de 10{,}5\,\text{mm}?
Interpretación física del problema
En una línea de transmisión, la señal solo se propaga de forma limpia mientras la resistencia del conductor sea mucho menor que la impedancia característica Z_0 de la línea. Cuando R se acerca o supera a Z_0, aparecen pérdidas por Joule y reflexiones que degradan la señal. Por tanto, el valor tope de la resistencia del cable es igual a su impedancia:
R_{\text{máx}} = Z_0 = 75\,\Omega
Resolución paso a paso
Datos: Z_0 = 75\,\Omega, L_{\text{máx}} = 50\,\text{m}, d = 10{,}5\,\text{mm} = 10{,}5 \times 10^{-3}\,\text{m}.
Resistencia máxima total admisible (límite impuesto por la impedancia):
R_{\text{máx}} = Z_0 = 75\,\Omega
- Resistencia por unidad de longitud que debe tener el conductor:
R' = \frac{R_{\text{máx}}}{L} = \frac{75\,\Omega}{50\,\text{m}} = 1{,}5\,\Omega/\text{m}
Es decir: el cable no puede superar 1{,}5\,\Omega por cada metro de longitud.
- Sección transversal del conductor (diámetro d = 10{,}5\,\text{mm}):
r = \frac{d}{2} = \frac{10{,}5\,\text{mm}}{2} = 5{,}25\,\text{mm} = 5{,}25 \times 10^{-3}\,\text{m}
A = \pi r^{2} = \pi \left(5{,}25 \times 10^{-3}\,\text{m}\right)^{2} = 8{,}66 \times 10^{-5}\,\text{m}^{2} \approx 86{,}6\,\text{mm}^{2}
- Resistividad que exigiría ese tope usando R = \rho \dfrac{L}{A} \Rightarrow \rho = R' A:
\rho = R' A = \left(1{,}5\,\Omega/\text{m}\right)\left(8{,}66 \times 10^{-5}\,\text{m}^{2}\right) = 1{,}30 \times 10^{-4}\,\Omega\cdot\text{m}
- Verificación con cobre (\rho_{\text{Cu}} = 1{,}68 \times 10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}): la resistencia real de un conductor de cobre de esa sección y longitud sería
R = \rho_{\text{Cu}} \frac{L}{A} = \frac{\left(1{,}68 \times 10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}\right)\left(50\,\text{m}\right)}{8{,}66 \times 10^{-5}\,\text{m}^{2}} = 9{,}7 \times 10^{-3}\,\Omega \approx 0{,}01\,\Omega
Como 0{,}01\,\Omega \ll 75\,\Omega, un cable coaxial de cobre cumple cómodamente el requisito; el límite de 75\,\Omega es un máximo absoluto admisible, no un valor que el cable alcance en la práctica.
- Comprobación geométrica (complementaria): si 10{,}5\,\text{mm} fuera el diámetro del conductor exterior (b = 5{,}25\,\text{mm}) y el dieléctrico fuera polietileno (\varepsilon_r \approx 2{,}3), la impedancia característica de un coaxial es
Z_0 = \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\!\left(\frac{b}{a}\right) = \frac{60}{\sqrt{2{,}3}} \ln\!\left(\frac{b}{a}\right) = 39{,}56 \ln\!\left(\frac{b}{a}\right)
Igualando a 75\,\Omega: \ln(b/a) = \dfrac{75}{39{,}56} = 1{,}90, de donde \dfrac{b}{a} = e^{1{,}90} = 6{,}68 y
a = \frac{b}{6{,}68} = \frac{5{,}25\,\text{mm}}{6{,}68} = 0{,}79\,\text{mm} \quad (d_{\text{int}} \approx 1{,}58\,\text{mm})
Estas dimensiones (b/a \approx 6{,}7) son las típicas de un coaxial estándar de 75\,\Omega.
El valor tope de resistencia del cable es R_{\text{máx}} = 75\,\Omega en los 50\,\text{m} de longitud, es decir, R' = 1{,}5\,\Omega/\text{m}; con d = 10{,}5\,\text{mm} (A \approx 86{,}6\,\text{mm}^{2}) eso corresponde a \rho \leq 1{,}30 \times 10^{-4}\,\Omega\cdot\text{m}, valor que un conductor de cobre (\rho = 1{,}68 \times 10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}, R \approx 0{,}01\,\Omega) cumple con amplio margen.
