Un electrón se mueve por el cinescopio de atrás hacia el frente, con rapidez v = 10 \times 10^{6} \, \text{m/s} a lo largo del eje x. En el cuello del tubo, las bobinas generan un campo magnético de magnitud B = 0,030 \, \text{T}, dirigido con un ángulo de 60^\circ respecto al eje x, en el mismo plano xy.
La fuerza magnética (fuerza de Lorentz) sobre una carga en movimiento es:
\vec{F} = q\,\vec{v} \times \vec{B}
y su magnitud vale:
F = |q|\,v\,B\,\sin\theta
donde \theta es el ángulo entre \vec{v} y \vec{B}. Para el electrón, |q| = e = 1{,}60 \times 10^{-19} \, \text{C}.
También recordemos que el producto vectorial se obtiene por la regla de la mano derecha: si los vectores están en el plano xy, el producto apunta en \pm z; como el electrón tiene carga negativa, la fuerza se dirige en el sentido contrario al de \vec{v} \times \vec{B}.
Fuerza magnética con $\theta = 60^\circ$
Sustitución con los datos:
F = (1{,}60 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (10 \times 10^{6} \, \text{m/s}) \times (0{,}030 \, \text{T}) \times \sin 60^\circ
Calculamos primero el producto de las constantes:
1{,}60 \times 10^{-19} \times 10^{7} = 1{,}60 \times 10^{-12} \, \text{C} \cdot \text{m/s}
Luego:
1{,}60 \times 10^{-12} \times 0{,}030 = 4{,}80 \times 10^{-14} \, \text{N}
Finalmente multiplicamos por \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866:
F = 4{,}80 \times 10^{-14} \times 0{,}866 \approx 4{,}16 \times 10^{-14} \, \text{N}
Dirección: \vec{v} = v\,\hat{i} y \vec{B} = B\cos 60^\circ\,\hat{i} + B\sin 60^\circ\,\hat{j}, de modo que
\vec{v} \times \vec{B} = v B \sin 60^\circ\,(\hat{i} \times \hat{j}) = v B \sin 60^\circ\,\hat{k}
Como la carga es negativa, la fuerza se dirige en -\hat{k}, es decir, perpendicular al plano xy y hacia el lado opuesto al determinado por la regla de la mano derecha.
F \approx 4{,}16 \times 10^{-14} \, \text{N}, perpendicular al plano xy (hacia -z).
Fuerza magnética con $\theta = 30^\circ$
Misma fórmula, con \theta = 30^\circ:
F = (1{,}60 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (10 \times 10^{6} \, \text{m/s}) \times (0{,}030 \, \text{T}) \times \sin 30^\circ
Ya sabemos que (1{,}60 \times 10^{-19})(10^{7})(0{,}030) = 4{,}80 \times 10^{-14} \, \text{N}. Como \sin 30^\circ = 0{,}5:
F = 4{,}80 \times 10^{-14} \times 0{,}5 = 2{,}40 \times 10^{-14} \, \text{N}
Note el resultado físico: al reducirse el ángulo de 60^\circ a 30^\circ, la fuerza disminuye, porque \vec{B} queda más "paralelo" a \vec{v} y solo la componente perpendicular del campo ejerce fuerza.
F = 2{,}40 \times 10^{-14} \, \text{N}.
Ángulo para que la fuerza sea máxima
De la expresión F = |q|\,v\,B\,\sin\theta, el factor variable es \sin\theta. El seno alcanza su valor máximo cuando:
\sin\theta = 1 \quad \Longrightarrow \quad \theta = 90^\circ
En esa configuración el campo es perpendicular a la velocidad, y la fuerza vale:
F_{\text{máx}} = |q|\,v\,B = (1{,}60 \times 10^{-19})(10^{7})(0{,}030) = 4{,}80 \times 10^{-14} \, \text{N}
Esto es lo que ocurre realmente en el cinescopio: las bobinas de deflexión colocan el campo de modo que el haz de electrones se desvíe, dibujando la imagen en la pantalla fluorescente.
\theta = 90^\circ, con F_{\text{máx}} = 4{,}80 \times 10^{-14} \, \text{N}.
