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Rotor en un motor: parámetros, resistencia, torque y efecto de añadir vueltas

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) $L = N\cdot2(a+b)$ , $R = \rho L/S$ , $I = U/R$ , $\varepsilon = NBA\omega$ , $M = NBIA$ , $P_{mec} = \varepsilon I$ , $\eta = \varepsilon/(\varepsilon + IR)$ . b) Con $N\to2N$ : $R\to2R$ , $I\to I/2$ , $\varepsilon\to2\varepsilon$ ; torque y potencia mecánica iguales; menos calor; más eficiencia.

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 154

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 1

a — Cálculo de todos los parámetros del rotor

Se considera una espira rectangular (rotor) de $N$ vueltas, lados de longitud $a$ y $b$ , área $A = a\cdot b$ , alambre de diámetro $d$ , alimentado por un voltaje $U$ dentro de un campo magnético uniforme $B$ , girando con velocidad angular $\omega$ .

Área del rotor: $A = a\cdot b$ .
Longitud de una vuelta (perímetro): $\ell_{vuelta} = 2(a+b)$ .
Longitud total del alambre: $L = N\cdot 2(a+b)$ .
Área de la sección transversal del alambre: $S = \pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^{2} = \dfrac{\pi d^{2}}{4}$ .
Resistencia del alambre: $R = \rho\dfrac{L}{S}$ , con $\rho = 1{,}68\times10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}$ (cobre).
Corriente: $I = \dfrac{U}{R}$ .
**Fuerza magnética sobre un lado $(\theta$ = $90^\circ $):** $F = N B I $\ell$ $\sin$ $90^{\circ}$ = N B I $\ell$ .
Torque máximo: $M = F\cdot\dfrac{a}{2} = N B I A$ .
Fuerza electromotriz inducida: $\varepsilon = N B A \omega$ .
Potencia mecánica entregada: $P_{mec} = M\omega = \varepsilon I$ .
Potencia disipada como calor (efecto Joule): $P_{J} = I^{2}R$ .
Balance de potencia: $U I = \varepsilon I + I^{2}R$ .
Eficiencia: $\eta = \dfrac{P_{mec}}{U I}\times100\%$ .

Ejemplo numérico ilustrativo (los datos exactos deben tomarse de la página 153): $N = 100$ vueltas, $a = 0{,}04\,\text{m}$ , $b = 0{,}02\,\text{m}$ , $d = 0{,}5\,\text{mm} = 5\times10^{-4}\,\text{m}$ , $U = 6\,\text{V}$ , $B = 0{,}1\,\text{T}$ , $\omega = 200\,\text{s}^{-1}$ .

$A = 0{,}04\times0{,}02 = 8\times10^{-4}\,\text{m}^{2}$ .
$\ell_{vuelta} = 2(0{,}04+0{,}02) = 0{,}12\,\text{m}$ .
$L = 100\times0{,}12 = 12\,\text{m}$ .
$S = \dfrac{\pi(5\times10^{-4})^{2}}{4} = 1{,}963\times10^{-7}\,\text{m}^{2}$ .
$R = \dfrac{1{,}68\times10^{-8}\times12}{1{,}963\times10^{-7}} = 1{,}03\,\Omega$ .
$I = \dfrac{6}{1{,}03} = 5{,}84\,\text{A}$ .
$\varepsilon = 100\times0{,}1\times8\times10^{-4}\times200 = 1{,}6\,\text{V}$ .
$M = 100\times0{,}1\times5{,}84\times8\times10^{-4} = 4{,}67\times10^{-2}\,\text{N}\cdot\text{m}$ .
$P_{mec} = 1{,}6\times5{,}84 = 9{,}34\,\text{W}$ .
$P_{J} = (5{,}84)^{2}\times1{,}03 = 25{,}7\,\text{W}$ .
$U I = 6\times5{,}84 = 35{,}0\,\text{W} = 9{,}34 + 25{,}7\,\text{W}$ ✓.
$\eta = \dfrac{9{,}34}{35{,}0}\times100\% = 26{,}7\%$ .

Ejercicio 1

b — ¿Qué pasa si se añaden 100 vueltas de alambre?

$N\to 2N$ , por lo que la longitud se duplica: $L' = 2L$ .
Si el diámetro se mantiene, $R' = 2R$ ; con el mismo voltaje, $I' = \dfrac{U}{2R} = \dfrac{I}{2}$ (la corriente se reduce a la mitad).
La f.m. inducida se duplica: $\varepsilon' = 2\varepsilon$ .
El torque $M = N B I A$ pasa a $M' = (2N)B\left(\dfrac{I}{2}\right)A = N B I A = M$ : se mantiene igual.
$P_{mec}' = \varepsilon' I' = (2\varepsilon)\left(\dfrac{I}{2}\right) = P_{mec}$ : la potencia mecánica también se conserva.
El calor de Joule se reduce: $P_J' = (I')^{2}R' = \left(\dfrac{I}{2}\right)^{2}(2R) = \dfrac{I^{2}R}{2}$ .
La eficiencia aumenta, porque $\eta = \dfrac{1}{1 + \dfrac{IR}{\varepsilon}}$ y el término $IR$ permanece constante mientras $\varepsilon$ se duplica.
Caso realista (mismo espacio de bobinado): para acomodar el doble de vueltas el alambre debe adelgazarse ( $d\to\dfrac{d}{2}$ ), entonces $S\to\dfrac{S}{4}$ y $R' = \rho\dfrac{2L}{S/4} = 8R$ . Como $\varepsilon' = 2\varepsilon$ , resulta $M' = \dfrac{1}{4}M$ y $P_{mec}' = \dfrac{1}{2}P_{mec}$ : el rotor rinde menos y se calienta menos.

Respuesta

Al añadir 100 vueltas la longitud del alambre y la resistencia se duplican, la corriente se reduce a la mitad y la f.m. inducida y el torque se duplican de modo que el torque neto y la potencia mecánica permanecen iguales (idealmente); el calor de Joule baja a la mitad y mejora la eficiencia. Si hay que adelgazar el alambre para que quepan las vueltas, la resistencia crece mucho más y el torque y la potencia disminuyen.

Contenido de la página

Continuación de la actividad sobre el rotor

a) Calculo todos los parámetros antes mencionados para poder estimar el comportamiento del rotor.

Parámetros y relaciones que se usan:

Área del rotor: $A = a\cdot b$ .
Longitud de una vuelta: $\ell_{vuelta} = 2(a+b)$ .
Longitud total de alambre: $L = N\cdot 2(a+b)$ .
Sección del alambre: $S = \pi d^{2}/4$ .
Resistencia: $R = \rho L/S$ , con $\rho = 1{,}68\times10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}$ (cobre).
Corriente: $I = U/R$ .
Fuerza magnética por lado: $F = N B I \ell$ (con $\theta = 90^{\circ}$ ).
Torque: $M = N B I A$ .
F.m. inducida: $\varepsilon = N B A \omega$ .
Potencia mecánica: $P_{mec} = \varepsilon I = M\omega$ .
Calor de Joule: $P_{J} = I^{2}R$ .
Eficiencia: $\eta = P_{mec}/(U I)$ .

Los valores numéricos exactos ( $N$ , $a$ , $b$ , $d$ , $U$ , $B$ ) se leen en la página 153, que no se incluye en esta página; el desarrollo simbólico es idéntico.

b) Si en la prueba se pudieran añadir 100 vueltas más de alambre, ¿qué sucedería con el resto de parámetros? Explico mi respuesta.

$L' = 2L$ y, si $d$ se mantiene, $R' = 2R$ .
$I' = U/R' = I/2$ .
$\varepsilon' = 2\varepsilon$ .
$M' = (2N)B(I/2)A = M$ .
$P_{mec}' = \varepsilon'I' = P_{mec}$ .
$P_J' = (I')^2 R' = P_J/2$ (se calienta menos).
$\eta$ aumenta, ya que $\eta = 1/[1 + IR/\varepsilon]$ y $IR$ no cambia.
Si para acomodar el doble de vueltas se reduce el diámetro ( $d\to d/2$ ), entonces $S\to S/4$ y $R' = 8R$ : caen corriente, torque y potencia mecánica ( $M' = M/4$ , $P_{mec}' = P_{mec}/2$ ).

Ejemplos resueltos

Rotor con $N = 100$ vueltas, $a = 4\,\text{cm}$ , $b = 2\,\text{cm}$ , $d = 0{,}5\,\text{mm}$ , $U = 6\,\text{V}$ , $B = 0{,}1\,\text{T}$ , $\omega = 200\,\text{s}^{-1}$ . Calcular todos los parámetros.

$A = 8\times10^{-4}\,\text{m}^2$ ; $\ell_{vuelta} = 0{,}12\,\text{m}$ ; $L = 12\,\text{m}$ ; $S = 1{,}963\times10^{-7}\,\text{m}^2$ ; $R = 1{,}03\,\Omega$ ; $I = 5{,}84\,\text{A}$ ; $\varepsilon = 1{,}6\,\text{V}$ ; $M = 4{,}67\times10^{-2}\,\text{N}\cdot\text{m}$ ; $P_{mec} = 9{,}34\,\text{W}$ ; $P_J = 25{,}7\,\text{W}$ ; $UI = 35{,}0\,\text{W}$ ; $\eta = 26{,}7\%$ .

Tabla

Parámetro	Expresión	Unidad SI	Efecto al pasar de $N$ a $2N$ (mismo $d$ )
Longitud del alambre	$L = N\cdot2(a+b)$	m	se duplica
Resistencia	$R = \rho L/S$	$\Omega$	se duplica
Corriente	$I = U/R$	A	se reduce a la mitad
F.m. inducida	$\varepsilon = N B A \omega$	V	se duplica
Torque	$M = N B I A$	N·m	se mantiene
Potencia mecánica	$P_{mec} = \varepsilon I$	W	se mantiene
Calor de Joule	$P_J = I^2R$	W	se reduce a la mitad
Eficiencia	$\eta = \varepsilon/(\varepsilon+IR)$	%	aumenta

Diagrama

flowchart LR
  U[I = U/R] -->|alimenta| B[Bobina N vueltas]
  B --> E[f.m. inducida epsilon = N B A omega]
  B --> M[Torque M = N B I A]
  M --> Pm[P_mec = epsilon I]
  B --> Pj[P_J = I^2 R]
  Pm --> Rend[Eficiencia eta = P_mec / (U I)]
  Pj --> Rend

Fórmulas y ecuaciones

$R = \rho\dfrac{L}{S}$ con $L = N\cdot 2(a+b)$ y $S = \pi d^2/4$

$M = N B I A$

$\varepsilon = N B A \omega$

$P_{mec} = \varepsilon I$ y $P_J = I^2 R$

$\eta = \dfrac{\varepsilon}{\varepsilon + IR}$

A = $a\cdot$ b

$\ell_{vuelta}$ = 2(a+b)

L = $N\cdot$ 2(a+b)

S = $\frac{\pi d^{2}}{4}$

R = $\rho$ $\frac{L}{S}$

I = $\frac{U}{R}$

F = N B I $\ell$ $\sin\theta$

M = N B I A

$\varepsilon$ = N B A $\omega$

$P_{mec}$ = $M\omega$ = $\varepsilon$ I

$P_{J}$ = $I^{2}R$

U I = $\varepsilon$ I + $I^{2}R$

$\eta$ = $\frac{\varepsilon}{\varepsilon + I R}$ $\times$ 100%

Glosario (7)

Rotor: Parte giratoria de un motor eléctrico que contiene el arrollamiento conductor expuesto al campo magnético.
Bobina (arrollamiento): Enrollado de alambre de longitud $L = N\cdot\ell_{vuelta}$ que genera un torque magnético.
Fuerza electromotriz inducida: Voltaje $\varepsilon = N B A \omega$ que aparece en la bobina al girar en un campo magnético, por oposición a la corriente.
Torque magnético: Par de fuerzas $M = N B I A$ que hace girar al rotor; máximo cuando el plano de la bobina es paralelo al campo.
Eficiencia de un motor
Efecto Joule: Disipación de energía en $P_J = I^2 R$ al circular corriente por un conductor resistivo.
Resistividad: Propiedad del material ($\rho$) que determina su resistencia a $R = \rho L/S$.

Preguntas para practicar

¿Por qué el torque de un rotor no cambia al duplicar el número de vueltas cuando el diámetro del alambre se mantiene?

Porque el torque es $M = N B I A$ y al duplicar $N$ se duplica la fuerza; al mismo tiempo la resistencia se duplica, con lo que la corriente a la misma tensión cae a la mitad. El producto $N\cdot I$ permanece constante y el torque no varía, aunque la corriente total y el calentamiento sí cambian.

¿Qué papel juega la fuerza electromotriz inducida en el balance de potencia del motor?

Es el voltaje contra-inducido que se opone a la tensión aplicada: disminuye la corriente neta y transforma energía eléctrica en energía mecánica ($P_{mec} = \varepsilon I$). La potencia de entrada se reparte entre el trabajo mecánico y el calor de Joule.

Temas y conceptos clave

Parámetros de un rotor en un campo magnéticoResistencia de un conductor: $R = \rho L/S$Fuerza magnética y torque sobre una bobinaFuerza electromotriz inducida en un rotor giratorioBalance de potencia y eficiencia de un motorVariación de parámetros al añadir vueltas al rotorNúmero de vueltas $N$Longitud del alambre $L$Resistencia $R = \rho L/S$Fuerza magnética $F = B I \ell \sin\theta$Torque $M = N B I A$F.m. inducida $\varepsilon = N B A \omega$Potencia mecánica $P_{mec} = M\omega = \varepsilon I$Efecto Joule $P_J = I^2 R$Eficiencia $\eta = P_{mec}/(U I)$