Rotor de 2000 espiras (A = 50 cm^2 cada una, I = 500 mA) en campo B; hallar B para _max = 2,7 N·m y analizar el efecto de cambiar el número de espiras.

B = 0,54 T (c: 0,27 T; d: 1,08 T)

Cable coaxial con corriente interna de 1,25 A hacia afuera y corriente externa de 4 A hacia adentro. Determinar magnitud y dirección del campo magnético en los puntos a (r = 1 mm) y b (r = 3 mm).

B_a = 2,5×10^-4 T (0,25 mT) ; B_b = 1,83×10^-4 T (0,18 mT)

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Rotor en campo magnético y campo en un cable coaxial

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Respuesta rápida

5.b: B = 0,54 T. 5.c: B = 0,27 T. 5.d: B = 1,08 T. 5.e: el momento de rotación máximo aumenta (duplica al duplicar espiras). 5.f: disminuye (se reduce a la mitad). 6.a: en a, B = 2,5×10⁻⁴ T hacia arriba; en b, B = 1,83×10⁻⁴ T hacia abajo.

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Solución — Página 152

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 5

Un rotor de 2000 espiras gira en un campo magnético homogéneo $B$ ; cada espira tiene $A = 50\,\text{cm}^{2}$ y la corriente es $I = 500\,\text{mA}$ . Se pide el campo $B$ para que el momento de rotación máximo sea $\tau_{max} = 2,7\,\text{N}\cdot\text{m}$ .

Conversión de unidades:

$I = 500\,\text{mA} = 0,500\,\text{A}$ .
$A = 50\,\text{cm}^{2} = 50\times 10^{-4}\,\text{m}^{2} = 5,0\times 10^{-3}\,\text{m}^{2}$ .
El momento de rotación de una bobina es $\tau = N B I A \sin\theta$ ; el máximo ocurre con $\theta = 90^\circ$ ( $\sin 90^\circ = 1$ ), de modo que $\tau_{max} = N B I A$ .

Parte 5.a

Esquema de la situación

Se dibuja un rotor (bobina de $N = 2000$ espiras) con área $A = 50\,\text{cm}^{2}$ , un eje de giro y un campo magnético uniforme $B$ que atraviesa perpendicularmente la plancha de la bobina; cuando $B$ es perpendicular al plano de las espiras el momento $\tau = N B I A$ alcanza su valor máximo.

Parte 5.b

Campo $B$ con $\tau_{max} = 2,7\,\text{N}\cdot\text{m}$

Despejo $B$ de $\tau_{max} = N B I A$ : $B = \frac{\tau_{max}}{N\, I\, A}$
Sustituyo: $N = 2000$ , $I = 0,500\,\text{A}$ , $A = 5,0\times 10^{-3}\,\text{m}^{2}$ : $B = \frac{2,7}{(2000)(0,500)(5,0\times 10^{-3})}$
Calculo el denominador: $(2000)(0,500) = 1000$ ; $(1000)(5,0\times 10^{-3}) = 5,0$ .
Entonces: $B = \frac{2,7}{5,0} = 0,54\,\text{T}$

Respuesta

$B = 0,54\,\text{T}$ .

Parte 5.c

Se duplican las espiras y se mantiene la corriente

Ahora $N = 2\times 2000 = 4000$ espiras, con $I$ y $A$ iguales.
$\tau_{max} = N B I A \Rightarrow B = \dfrac{\tau_{max}}{N I A}$ : $B = \frac{2,7}{(4000)(0,500)(5,0\times 10^{-3})}$
Denominador: $(4000)(0,500) = 2000$ ; $(2000)(5,0\times 10^{-3}) = 10,0$ .
$B = \dfrac{2,7}{10,0} = 0,27\,\text{T}$ .

Respuesta

$B = 0,27\,\text{T}$ (la mitad del valor anterior).

Parte 5.d

Se reduce a la mitad el número de espiras, se mantiene la corriente

Ahora $N = \dfrac{2000}{2} = 1000$ espiras.
$B = \dfrac{\tau_{max}}{N I A} = \dfrac{2,7}{(1000)(0,500)(5,0\times 10^{-3})}$ .
Denominador: $(1000)(0,500) = 500$ ; $(500)(5,0\times 10^{-3}) = 2,5$ .
$B = \dfrac{2,7}{2,5} = 1,08\,\text{T}$ .

Respuesta

$B = 1,08\,\text{T}$ (el doble del valor de la parte b).

Parte 5.e

¿Qué sucede al aumentar $N$ manteniendo la corriente?

Como $\tau_{max} = N B I A$ , con $B$ , $I$ y $A$ constantes se tiene $\tau_{max} \propto N$ .
Al duplicar las espiras el momento de rotación máximo se duplica: $\tau_{max} = 2\times 2,7 = 5,4\,\text{N}\cdot\text{m}$ .

Respuesta

El momento de rotación máximo aumenta en proporción directa al número de espiras; el rotor gira con mayor fuerza (mayor par) en el mismo campo $B$ .

Parte 5.f

¿Qué sucede al disminuir $N$ manteniendo la corriente?

De nuevo $\tau_{max} \propto N$ , ahora con $N$ menor.
Al reducir a la mitad las espiras: $\tau_{max} = \dfrac{1}{2}(2,7) = 1,35\,\text{N}\cdot\text{m}$ .

Respuesta

El momento de rotación máximo disminuye en proporción directa a la reducción de espiras; el rotor gira con menor par.

Ejercicio 6

Cable coaxial: conductor central con corriente $I_{int} = 1,25\,\text{A}$ hacia afuera, y conductor externo con $I_{ext} = 4,0\,\text{A}$ hacia adentro. Según la figura, el punto $a$ está a $r_a = 1\,\text{mm}$ del eje (dentro de la capa de hule, entre los conductores) y el punto $b$ está a $r_b = 3\,\text{mm}$ (afuera del conductor externo).

Ley de Ampère (simetría cilíndrica): $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enc} \Rightarrow B(2\pi r) = \mu_0 I_{enc} \Rightarrow B = \frac{\mu_0 I_{enc}}{2\pi r}$

Parte 6.a

Campo entre los puntos $a$ y $b$

Paso 1 — Distancias:

$r_a = 1\,\text{mm} = 1,0\times 10^{-3}\,\text{m}$ .
$r_b = 3\,\text{mm} = 3,0\times 10^{-3}\,\text{m}$ .

Paso 2 — Corriente encerrada en $r_a$ : 3. La circunferencia de radio $r_a$ solo rodea el conductor central: $I_{enc} = 1,25\,\text{A}$ . 4. $B_a = \dfrac{\mu_0 I_{enc}}{2\pi r_a} = \dfrac{(4\pi\times 10^{-7}\,\text{T}\cdot\text{m/A})(1,25\,\text{A})}{2\pi(1,0\times 10^{-3}\,\text{m})}$ . 5. Simplifico: $\dfrac{4\pi\times 10^{-7}}{2\pi} = 2\times 10^{-7}$ ; entonces $B_a = \dfrac{(2\times 10^{-7})(1,25)}{1,0\times 10^{-3}} = \dfrac{2,5\times 10^{-7}}{10^{-3}}$ . 6. $B_a = 2,5\times 10^{-4}\,\text{T} = 0,25\,\text{mT}$ .

Paso 3 — Corriente encerrada en $r_b$ : 7. En $r_b$ se rodean ambas corrientes, con sentidos opuestos: $I_{enc} = 1,25\,\text{A} - 4,0\,\text{A} = -2,75\,\text{A}$ (neta, $2,75\,\text{A}$ hacia adentro). 8. $B_b = \dfrac{(2\times 10^{-7})(2,75)}{3,0\times 10^{-3}} = \dfrac{5,5\times 10^{-7}}{3,0\times 10^{-3}} = 1,83\times 10^{-4}\,\text{T} = 0,183\,\text{mT}$ .

Paso 4 — Direcciones (regla de la mano derecha): 9. En $a$ : la corriente sale de la página, entonces las líneas de $\vec{B}$ giran en sentido antihorario. En el punto $a$ (a la derecha del eje), $\vec{B}$ apunta hacia arriba (paralelo al cable, tangente a la circunferencia). 10. En $b$ : la corriente neta entra en la página, entonces $\vec{B}$ gira en sentido horario. En el punto $b$ (derecha del eje), $\vec{B}$ apunta hacia abajo.

Verificación cruzada del ejercicio 5: $\tau_{max} = N B I A = (2000)(0,54)(0,500)(5,0\times 10^{-3}) = 2000\times 0,54\times 0,0025 = 2,7\,\text{N}\cdot\text{m}$ ✔

Respuesta

En $a$ : $B = 2,5\times 10^{-4}\,\text{T}$ (0,25 mT), tangente hacia arriba (giro antihorario). En $b$ : $B = 1,83\times 10^{-4}\,\text{T}$ (0,18 mT), tangente hacia abajo (giro horario).

Contenido de la página

5. Rotor en campo magnético

Un rotor está compuesto por 2000 espiras y gira en un campo magnético homogéneo $B$ ; cada espira tiene área $A = 50\,\text{cm}^{2}$ y la corriente es $I = 500\,\text{mA}$ .

a) Realizar un esquema de la situación.
b) Determinar el valor de $B$ (en teslas) para que el momento de rotación máximo del rotor sea $\tau_{max} = 2,7\,\text{N}\cdot\text{m}$ .
c) Si el número de espiras se duplica pero se mantiene la corriente, determinar el valor de $B$ .
d) Si el número de espiras se reduce a la mitad pero se mantiene la corriente, determinar el valor de $B$ .
e) Si el número de espiras aumenta pero se mantiene la corriente, ¿qué sucede con el rotor?
f) Si el número de espiras disminuye pero se mantiene la corriente, ¿qué sucede con el rotor?

6. Cable coaxial

Un cable coaxial consta de un conductor central rodeado por una capa de hule, la cual está rodeada por una capa exterior conductora que también tiene recubrimiento de hule. En la figura se ve el cable seccionado transversalmente. En una conexión específica la corriente interna es de $1,25\,\text{A}$ hacia afuera y de $4\,\text{A}$ hacia adentro (como se ve en el esquema).

Fuente: Serway (2008).

a) Determinar la magnitud y dirección del campo magnético entre los puntos $a$ y $b$ .

Fuente de la figura del cable: https://n9.c/9wwf14

Texto de Física — pág. 151

Ejemplos resueltos

Un rotor de 2000 espiras, cada una de $50\,\text{cm}^{2}$ , con corriente de $500\,\text{mA}$ , gira en un campo $B$ . Calcular $B$ si $\tau_{max} = 2,7\,\text{N}\cdot\text{m}$ .

Convertimos: $I = 0,500\,\text{A}$ y $A = 5,0\times 10^{-3}\,\text{m}^{2}$ . Como $\tau_{max} = N B I A$ , entonces $B = \frac{2,7}{(2000)(0,500)(5,0\times 10^{-3})} = \frac{2,7}{5,0} = 0,54\,\text{T}$ .

Cable coaxial: $I_{centro} = 1,25\,\text{A}$ hacia afuera y $I_{ext} = 4,0\,\text{A}$ hacia adentro. Calcular $B$ a $r = 3\,\text{mm}$ del eje.

La corriente encerrada es $I_{enc} = 1,25 - 4,0 = -2,75\,\text{A}$ . Aplicando $B = \frac{\mu_0 I_{enc}}{2\pi r} = \frac{(2\times10^{-7})(2,75)}{3,0\times10^{-3}} = 1,83\times10^{-4}\,\text{T}$ .

Tablas (2)

Parte	Número de espiras	I (A)	A (m²)	τ_max (N·m)	B (T)
b	2000	0,500	5,0×10⁻³	2,7	0,54
c	4000	0,500	5,0×10⁻³	2,7	0,27
d	1000	0,500	5,0×10⁻³	2,7	1,08

Punto	r (mm)	$I_enc$ (A)	B (T)	Dirección
a	1,0	1,25	2,5×10⁻⁴	antihorario (hacia arriba en a)
b	3,0	−2,75 (neta 2,75 hacia adentro)	1,83×10⁻⁴	horario (hacia abajo en b)

Diagrama

flowchart TD
  A[Conductor central: 1,25 A hacia afuera] --> B[Capa de hule dieléctrico]
  B --> C[Conductor externo: 4,0 A hacia adentro]
  C --> D[Recubrimiento de hule]
  A ---|r = 1 mm| P1[Punto a: B = 2,5 x 10^-4 T, antihorario]
  D ---|r = 3 mm| P2[Punto b: B = 1,83 x 10^-4 T, horario]

Fórmulas y ecuaciones

$\tau_{max}$ = N B I A

B = $\frac{\mu_0 I_{enc}}{2\pi r}$

$\tau$ = N B I A $\sin\theta$

$\tau_{max}$ = N B I A

B = $\frac{\tau_{max}}{N I A}$

$\oint$ $\vec{B}$ $\cdot$ d $\vec{l}$ = $\mu_0$ $I_{enc}$

B = $\frac{\mu_0 I_{enc}}{2\pi r}$

$\mu_0$ = $4\pi\times$ $10^{-7}\$ , $\text{T}@@MATH_0@@\text{m/A}$

Glosario (5)

Rotor: Conjunto de espiras (bobina) montado sobre un eje que puede girar en un campo magnético, como en los motores eléctricos y generadores.
Momento de rotación (torque) magnético: Par de fuerzas que gira una bobina en un campo magnético, dado por τ = N B I A sin θ.
Ley de Ampère: Relación que vincula el campo magnético a lo largo de una curva cerrada con la corriente que la encierra: ∮B·dl = μ₀I_enc.
Cable coaxial: Cable compuesto por un conductor central, una capa dieléctrica (hule) y un conductor externo coaxial, usado para transmitir señales con baja interferencia.
Permeabilidad magnética del vacío: Constante μ₀ = 4π×10⁻⁷ T·m/A que relaciona las corrientes con los campos magnéticos en el vacío.

Preguntas para practicar

5.e) Cuando el número de espiras aumenta pero se mantiene la corriente, ¿qué sucede con el rotor?

Como τ = N B I A, el momento de rotación máximo es directamente proporcional al número de espiras; al aumentar N el rotor experimenta un par mayor en el mismo campo, es decir, gira con más fuerza (si N se duplica, τ se duplica a 5,4 N·m).

5.f) Cuando el número de espiras disminuye pero se mantiene la corriente, ¿qué sucede con el rotor?

El momento de rotación máximo disminuye en proporción directa al número de espiras; al reducir N a la mitad el torque baja a 1,35 N·m, por lo que el rotor gira con menor par.

6.a) Determino la magnitud y dirección del campo magnético entre los puntos a y b.

En a (r = 1 mm) solo actúa la corriente central: B = 2,5×10⁻⁴ T, con giro antihorario (hacia arriba en el punto a). En b (r = 3 mm) la corriente neta es 2,75 A hacia adentro: B = 1,83×10⁻⁴ T, con giro horario (hacia abajo en el punto b).

Temas y conceptos clave

Momento de rotación magnético de un rotorCálculo del campo magnético B en teslasEfecto del número de espiras sobre el torqueLey de Ampère en un cable coaxialDirección del campo magnético con la regla de la mano derechaMomento de rotación τ = N B I ACampo magnético máximo de la bobinaCorriente encerrada I_encPermeabilidad magnética del vacío μ₀ = 4π×10⁻⁷ T·m/ACable coaxial (conductor central + conductor externo)

Fuentes y referencias

Serway, J. (2008). Física (referencia bibliográfica del planteamiento del ejercicio 6).
https://n9.c/9wwf14 (figura del cable coaxial)

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Figuras de la página (1)

Sección transversal de un cable coaxial: conductor central pequeño (corriente 1,25 A hacia afuera), capa de hule, conductor externo anular (corriente 4,00 A hacia adentro) y recubrimiento exterior de hule. Marcas cada 1 mm sobre la línea horizontal: punto a a 1 mm del centro y punto b a 3 mm del centro. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el campo magnético necesario para que un rotor alcance un momento de rotación máximo determinado?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es la ley de Ampère y cómo se aplica a un cable coaxial con corrientes opuestas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué al duplicar el número de espiras de una bobina se duplica el torque magnético máximo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Conversión de unidades (mA a A, cm² a m², mm a m)
• Fórmula del momento de rotación magnético τ = N B I A sin θ
• Ley de Ampère ∮B·dl = μ₀I_enc y simetría cilíndrica
• Regla de la mano derecha para la dirección del campo magnético

Siguiente tema sugerido

Campo magnético generado por espiras y solenoides (campo axial de una bobina)

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1402 caracteres

Leo el siguiente planteamiento y realizo actividades a continuación:

Un rotor se encuentra compuesto por 2000 espiras, gira en un campo magnético homoogéneo B, cuando por cada espira de 50 cm? circula una corriente de 500 mA.

a) Realizo un esquema de la situación.

b) Determino el valor de B en teslas, de manera que el máximo momento de rotación del rotor sea de 2.7 Nm.

c) Si el número de espiras se duplica, pero se mantiene la corriente, determino el valor de B,

d) Si el número de espiras disminuye a la mitad, pero se mantiene la corriente, determino el valor de B.

e) Cuando el número de espiras aumenta, pero se mantiene con la corriente, ¿qué sucede con el rotor?

f) Cuando el número de espiras disminuye, pero se mantiene con la corriente, ¿qué sucede con el rotor?

Leo el siguiente planteamiento y realizo las actividades a continuación:

Un cable coaxial consta de un conductor central rodeado por una capa de hule, la cual está rodeada por una capa exterior conductora que también tiene un recubrimiento de hule. En la figura mostrada se puede ver un cable seccionado de manera transversal.

En una conexión específica la corriente interna es de 1,25 A hacia afuera y de 4 A hacia adentro (como se ve en el esquema).

Fuente: (Serway, 2008).

Fuente: https://n9.c/9wwf14

a) Determino la magnitud y dirección del campo magnético entre los puntos a y b.

Texto de Física \ 454

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