Actividad 2 · literal a)

Enunciado: Determinar qué porción de altura aumentará si una niña mide 1,50 metros, suponiendo que toda separación se expande conforme a la constante de Hubble H = 17\times10^{-3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}\cdot\text{año luz}}.

La ley de Hubble relaciona la velocidad de retroceso v con la separación d:

v = H\cdot d

1. Expresar la altura en unidades de año luz (una magnitud se debe medir con la misma unidad que la constante):

d = 1,50\ \text{m}\times\frac{1\ \text{año luz}}{9,46\times10^{15}\ \text{m}} = 1,585\times10^{-16}\ \text{año luz}

v = \left(17\times10^{-3}\ \frac{\text{m}}{\text{s}\cdot\text{año luz}}\right)\cdot\left(1,585\times10^{-16}\ \text{año luz}\right)

v = 2,69\times10^{-18}\ \text{m/s}

3. Calcular cuánto se expande en un año (1\ \text{año} = 3,156\times10^{7}\ \text{s}):

\Delta L = v\cdot t = \left(2,69\times10^{-18}\ \text{m/s}\right)\cdot\left(3,156\times10^{7}\ \text{s}\right)

\Delta L = 8,49\times10^{-11}\ \text{m}\ \text{(por año)}

4. Obtener la fracción de la altura («porción» = razón entre el crecimiento y la altura total):

\frac{\Delta L}{d} = \frac{8,49\times10^{-11}\ \text{m}}{1,50\ \text{m}} = 5,66\times10^{-11}\ \text{por año}

Nota de control: esa fracción no depende de la magnitud del objeto: como v/d = H es constante, la razón es siempre 5,66\times10^{-11}\ \text{año}^{-1} (el equivalente de H en unidades de 1/\text{año}).

Actividad 2 · literal b)

Enunciado: Responder ¿en qué porción se incrementaría la distancia entre la Tierra y Venus?

1. Usar una distancia Tierra-Venus representativa: la distancia media (con el Sol entre ambos) es de aproximadamente 0,28\ \text{UA}:

d = 0,28\ \text{UA}\times1,496\times10^{11}\ \text{m/UA} = 4,19\times10^{10}\ \text{m}

d = \frac{4,19\times10^{10}\ \text{m}}{9,46\times10^{15}\ \text{m}} = 4,43\times10^{-6}\ \text{año luz}

v = \left(17\times10^{-3}\right)\cdot\left(4,43\times10^{-6}\right) = 7,53\times10^{-8}\ \text{m/s}

\Delta L = \left(7,53\times10^{-8}\ \text{m/s}\right)\cdot\left(3,156\times10^{7}\ \text{s}\right) = 2,38\ \text{m por año}

\frac{\Delta L}{d} = \frac{2,38\ \text{m}}{4,19\times10^{10}\ \text{m}} = 5,66\times10^{-11}

(la misma fracción del literal a), en efecto v/d = H).

Si se toma la distancia máxima Venus-Tierra (0,73\ \text{UA}), entonces v \approx 1,97\times10^{-7}\ \text{m/s} y \Delta L \approx 6,2\ \text{m} por año.

Observación conceptual

La ley de Hubble describe la expansión del Universo a escalas cósmicas (megaparsecs) y entre sistemas no ligados gravitatoriamente. El Sistema Solar, la Tierra y la niña están ligados por gravedad, de modo que no se expanden con H_0; los resultados anteriores son un ejercicio kinemático hipotético que permite familiarizarse con la fórmula v = H\cdot d y la idea de que la tasa de crecimiento es proporcional a la separación.

flowchart TD
  A[Separación d] --> B[Convertir d a años luz: 1 a.l. = 9.46×10¹⁵ m]
  B --> C[Ley de Hubble: v = H·d]
  C --> D[ΔL = v·t, con t = 3.156×10⁷ s]
  D --> E[Porción = ΔL / d]
  E --> F[Resultado: 5.66×10⁻¹¹ por año]