Hallar mediante la ley de Hubble la longitud de onda de la línea del potasio 564 nm emitida por galaxias a: a) 3×10⁶ años luz; b) 10×10⁶ años luz; c) la nebulosa de Orión (2 170 años luz).

a) 564,12 nm; b) 564,40 nm; c) 564,00009 nm

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Ley de Hubble: desplazamiento al rojo de la línea del potasio

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Respuesta rápida

2.c) Modelo Lambda-CDM: expansión acelerada por energía oscura ( $\sim68\%$ ) y formación de galaxias por materia oscura ( $\sim27\%$ ). 3.a) $\lambda \approx 564{,}12$ nm ( $v=64{,}4$ km/s); 3.b) $\lambda \approx 564{,}40$ nm ( $v=215$ km/s); 3.c) $\lambda \approx 564{,}00009$ nm ( $v=0{,}047$ km/s, efecto nulo).

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 258

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 2

c

Explico dos sucesos de la película mediante el modelo estándar Lambda-CDM.

Nota: el título de la película aparece en la página anterior de la actividad. Como referencia orientativa, el modelo estándar Lambda-CDM explica de forma general los sucesos de una película de ciencia ficción cosmológica (p. ej. Interstellar o 2001: Odisea del espacio):

Suceso 1 — La expansión del universo y el desplazamiento al rojo de las galaxias. En el modelo Lambda-CDM el universo se expande desde un estado inicial de alta densidad y temperatura (Big Bang) y sigue expandiéndose porque una constante cosmológica $\Lambda$ (energía oscura) domina la dinámica a gran escala. Por eso, la luz de las galaxias lejanas llega desplazada al rojo: $\lambda_{obs} = \lambda_{em}\left(1 + \dfrac{v}{c}\right)$ , con $v = H_0\,d$ . La energía oscura hace que la expansión se acelere, fenómeno descubierto en 1998 con supernovas tipo Ia.

Suceso 2 — La formación de galaxias y el papel de la materia oscura. En Lambda-CDM, tras el Big Bang se generan fluctuaciones de densidad que, atraídas gravitacionalmente por la materia oscura (que compone cerca del 27 % de la densidad crítica), colapsan y dan origen a los halos donde nacen las galaxias. Sin materia oscura las galaxias se formarían mucho más tarde y serían más pequeñas. Los agujeros negros supermasivos de las galaxias se explican como consecuencia del colapso gravitacional dentro de esos halos, lo que permite situar la acción de la película en un tiempo cosmológicamente consistente.

Respuesta orientativa: el modelo Lambda-CDM describe un universo en expansión acelerada ( $\Lambda \approx 68\,\%$ ) dominado por energía oscura, con materia oscura ( $\approx 27\,\%$ ) que impulsa la formación de galaxias y baryónica normal ( $\approx 5\,\%$ ), partiendo de una singularidad inicial hace $\approx 13{,}8\times10^9$ años.

Ejercicio 3

Hallo mediante la ley de Hubble, la longitud de onda de la línea del potasio 564 nm emitida por galaxias que se localizan a: a) $3\times10^6$ años luz; b) $10\times10^6$ años luz; c) la nebulosa de Orión ( $2 170$ años luz).

Planteamiento común. La ley de Hubble relaciona la velocidad de recesión de una galaxia con su distancia:

$v = H_0\,d$

Se usa el valor estándar $H_0 = 70\,\text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{Mpc}^{-1}$ . Como la ley se aplica con la distancia en megaparsecs, se convierte:

$1\,\text{pc} = 3{,}2616\,\text{años luz} \quad\Rightarrow\quad 1\,\text{Mpc} = 3{,}2616\times10^6\,\text{años luz}$

$H_0 = \frac{70\,\text{km/s}}{3{,}2616\times10^6\,\text{años luz}} \approx 21{,}5\,\text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{por }10^6\,\text{años luz}$

El desplazamiento al rojo (velocidades no relativistas, $v \ll c$ ) es:

$\Delta\lambda = \lambda_0\,\frac{v}{c}, \qquad \lambda_{obs} = \lambda_0 + \Delta\lambda, \qquad c = 2{,}998\times10^5\,\text{km/s}$

Parte 3.a

$3\times10^6$ años luz

Distancia en Mpc: $d = \dfrac{3\times10^6}{3{,}2616\times10^6} = 0{,}920\,\text{Mpc}$ .
Velocidad de recesión: $v = H_0\,d = 70\times0{,}920 = 64{,}4\,\text{km/s}$ .
Desplazamiento: $\Delta\lambda = 564\,\text{nm}\times\dfrac{64{,}4}{2{,}998\times10^5} = 564\times2{,}148\times10^{-4} = 0{,}121\,\text{nm}$ .
Longitud de onda observada: $\lambda_{obs} = 564 + 0{,}121$ .

Respuesta

$\lambda_{obs} \approx 564{,}12\,\text{nm}$ (desplazamiento al rojo de $0{,}12$ nm).

Parte 3.b

$10\times10^6$ años luz

Distancia en Mpc: $d = \dfrac{10\times10^6}{3{,}2616\times10^6} = 3{,}067\,\text{Mpc}$ .
Velocidad de recesión: $v = 70\times3{,}067 = 214{,}7\,\text{km/s}$ .
Desplazamiento: $\Delta\lambda = 564\times\dfrac{214{,}7}{2{,}998\times10^5} = 564\times7{,}162\times10^{-4} = 0{,}404\,\text{nm}$ .
$\lambda_{obs} = 564 + 0{,}404$ .

Respuesta

$\lambda_{obs} \approx 564{,}40\,\text{nm}$ (desplazamiento al rojo de $0{,}40$ nm).

Parte 3.c

Nebulosa de Orión, $2 170$ años luz

Distancia en Mpc: $d = \dfrac{2170}{3{,}2616\times10^6} = 6{,}65\times10^{-4}\,\text{Mpc}$ .
Velocidad de recesión: $v = 70\times6{,}65\times10^{-4} = 0{,}047\,\text{km/s} \approx 47\,\text{m/s}$ .
Desplazamiento: $\Delta\lambda = 564\times\dfrac{0{,}047}{2{,}998\times10^5} = 564\times1{,}56\times10^{-7} = 8{,}8\times10^{-5}\,\text{nm}$ .
$\lambda_{obs} = 564 + 0{,}000088$ nm.

Respuesta

$\lambda_{obs} \approx 564{,}00009\,\text{nm}$ ; el efecto es despreciable. La ley de Hubble NO es aplicable a objetos tan cercanos (Orión está en el Grupo Local, a solo $0{,}67$ kpc), porque el movimiento propio (velocidad peculiar) de la nebulosa respecto a la Vía Láctea ( $\approx 20\,\text{km/s}$ ) es mucho mayor que la expansión cósmica a esa distancia; lo dominante será su desplazamiento por movimiento propio, no por el corrimiento al rojo de Hubble.

Contenido de la página

c) Explico dos sucesos de la película mediante el modelo estándar Lambda-CDM.

(espacio para respuesta del estudiante)

3. Hallo mediante la ley de Hubble, la longitud de onda de la línea del potasio 564 nm emitida por galaxias que se localizan a:

a) $3\times10^6$ años luz de la Tierra.

(espacio para respuesta)

b) $10\times10^6$ años luz de la Tierra.

(espacio para respuesta)

c) La nebulosa de Orión que está a 2 170 años luz.

(espacio para respuesta)

Texto de Física — pág. 257

Ejemplos resueltos

Calcular la velocidad de recesión y el corrimiento al rojo de la línea del potasio (564 nm) de una galaxia a $20\times10^6$ años luz.

$d = \dfrac{20\times10^6}{3{,}2616\times10^6} = 6{,}13\,\text{Mpc}$ ; $v = 70\times6{,}13 = 429\,\text{km/s}$ ; $\Delta\lambda = 564\times\dfrac{429}{2{,}998\times10^5} = 0{,}81\,\text{nm}$ ; $\lambda_{obs} = 564{,}81$ nm.

Tabla

Cuerpo	Distancia (años luz)	Distancia (Mpc)	Velocidad v (km/s)	Δλ (nm)	λobs (nm)
Galaxia a	3×10⁶	0,920	64,4	0,121	564,12
Galaxia b	10×10⁶	3,067	214,7	0,404	564,40
Nebulosa de Orión	2 170	6,65×10⁻⁴	0,047	8,8×10⁻⁵	564,00009

Diagrama

flowchart LR
  A[Distancia d en años luz] --> B[Convertir a Mpc<br/>d/3,2616×10⁶]
  B --> C[v = H₀·d<br/>H₀ = 70 km/s/Mpc]
  C --> D[Δλ = λ₀·v/c]
  D --> E[λobs = λ₀ + Δλ]

Fórmulas y ecuaciones

v = $H_0\,d$

$\Delta\lambda$ = $\lambda_0\$ , $\dfrac{v}{c}$

v = $H_0\,d$

$\Delta\lambda$ = $\lambda_0\$ , $\frac{v}{c}$

$\lambda_{obs}$ = $\lambda_0\left(1$ + $\frac{v}{c}$ $\right)$

$H_0$ = $70\$ , $\text{km}@@MATH_0@@^{-1}\$ , $\text{Mpc}$ $^{-1}$

$1\$ , $\text{Mpc}$ = $3{,}2616\times10^6\$ , $\text{años luz}$

$1\$ , $\text{año luz}$ = $9{,}461\times10^{12}\$ , $\text{km}$

c = $2{,}998\times10^5\$ , $\text{km/s}$

$\Omega_\Lambda$ $\approx$ $0{,}68,\quad$ $\Omega_m$ $\approx$ $0{,}27,\quad$ $\Omega_b$ $\approx$ 0{,}05

Glosario (7)

Ley de Hubble: Ley cosmológica que afirma que la velocidad de recesión de una galaxia es proporcional a su distancia: v = H₀ d.
Desplazamiento al rojo (redshift): Aumento de la longitud de onda de la luz de un cuerpo lejano respecto a la emitida, causado por la expansión del universo o por movimiento recesión.
Constante de Hubble (H₀): Parámetro cosmológico que cuantifica la tasa de expansión actual del universo, ~70 km/s por megaparsec.
Año luz: Distancia que recorre la luz en el vacío en un año: 9,461×10¹² km, equivalente a 0,3066 pc.
Megaparsec (Mpc): Unidad astronómica de distancia: 10⁶ pársecs, equivalente a 3,2616×10⁶ años luz.
Modelo Lambda-CDM: Modelo estándar del universo que incluye energía oscura (Λ), materia oscura fría (CDM), radiación y materia bariónica.
Movimiento propio: Desplazamiento radial de un astro respecto al sistema solar, no atribuible a la expansión del universo.

Preguntas para practicar

c) Explico dos sucesos de la película mediante el modelo estándar Lambda-CDM.

En Lambda-CDM el universo se expande y se acelera por la energía oscura (~68 %): las galaxias lejanas muestran corrimiento al rojo (λobs = λ₀(1 + v/c)) y la acción transcurrida en miles de millones de años es consistente con la edad cósmica. Además, la materia oscura (~27 %) estructura la materia y permite la formación de galaxias y de los agujeros negros donde transcurre la historia.

¿Por qué la ley de Hubble no sirve para calcular el corrimiento de la nebulosa de Orión?

Porque Orión está a solo 2 170 años luz (dentro del Grupo Local), donde la expansión produce una velocidad de apenas 0,047 km/s, inferior al movimiento propio de la nebulosa (≈ 20 km/s). En esa escala local domina el efecto Doppler por movimiento, no el desplazamiento por expansión cósmica.

Temas y conceptos clave

Ley de HubbleDesplazamiento al rojoModelo Lambda-CDMExpansión del universoMateria y energía oscuraLey de HubbleConstante de HubbleCorrimiento al rojoMegaparsecAño luzModelo estándar Lambda-CDMEnergía oscuraMateria oscuraMovimiento propio

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