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Modelamiento con seno, sucesiones y ecuaciones exponenciales

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

23a) 8000; 23b) $\approx 6586$ ; 23c) máx $10\,000$ ; 23d) $t=6$ (para 6000). 25) todas convergen. 26a) $x\approx -0.73$ ; 26b) $x\approx 0.95$ ; 26c) sin solución. 27) $\approx 4040$ (con interpretación exponencial).

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 25 min lectura

Solución — Página 29

Matematica 2° · 2024

Ejercicio 23

a: población inicial

$P(0)=8000+2000\sin 0=8000$ orugas.

Ejercicio 23

b: día 5

$P(5)=8000+2000\sin(5\pi/4)=8000+2000\cdot(-\sqrt{2}/2)=8000-1000\sqrt{2}\approx 6586$ .

Ejercicio 23

c: mayor tamaño

Máximo cuando $\sin=1$ : $P_{max}=10\,000$ (en $t=2$ ).

Ejercicio 23

d: población de 600

$P(t)=600$ es imposible pues $P\geq 6000$ (mínimo $8000-2000=6000$ ). El texto probablemente pregunta 6000. En ese caso: $8000+2000\sin(\pi t/4)=6000\Rightarrow \sin(\pi t/4)=-1$ ; $\pi t/4=3\pi/2\Rightarrow t=6$ .

Ejercicio 25

a: $\sum 1/(2^n+n^2)$

Comparación con $\sum 1/2^n$ (geométrica convergente): serie convergente.

Ejercicio 25

b: $\sum \sin^2 n/(n(n+1))$

$|\sin^2 n/(n(n+1))|\leq 1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)$ ; telescópica, convergente a un valor $\leq 1$ .

Ejercicio 25

c: $\sum 1/n^n$

$1/n^n \leq 1/n^2$ para $n\geq 2$ : convergente.

Ejercicio 26

a: $4^{x-1}=3^{3x}$

$\log$ : $(x-1)\log 4=3x\log 3\Rightarrow x(\log 4-3\log 3)=\log 4\Rightarrow x=\log 4/(\log 4-\log 27)=\log 4/\log(4/27)$ . Numéricamente: $x=\log 4/\log(4/27)\approx 0.602/(-0.829)\approx -0.727$ .

Ejercicio 26

b: $2.3^x=1.5^{x+1}$

$x\log 2.3=(x+1)\log 1.5\Rightarrow x(\log 2.3-\log 1.5)=\log 1.5\Rightarrow x=\log 1.5/\log(2.3/1.5)=\log 1.5/\log(23/15)\approx 0.176/0.185\approx 0.951$ .

Ejercicio 26

c: $\sqrt{x}=-1$

No tiene solución real (raíz cuadrada principal es no negativa).

Ejercicio 27

bacterias

Interpretación estándar: $N(t)=N_0\cdot(1.004)^t$ o similar (el enunciado tiene errata). Asumiendo $N(t)=N_0\cdot e^{0.004t}$ con $t$ en minutos: en 2 h = 120 min, $N=2500\cdot e^{0.48}\approx 2500\cdot 1.616\approx 4040$ bacterias.

Contenido de la página

23. Población de orugas: $P(t)=8000+2000\sin(\pi t/4)$

24. Graficar

a) $f(x)=(1.5)^x$
b) $f(x)=(0.7)^x$
c) $h(x)=5^{0.2x}$

25. Convergencia

a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n+n^2}$
b) $\sum \frac{\sin^2 n}{n(n+1)}$
c) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n}$

26. Ecuaciones

a) $4^{x-1}=3^{3x}$
b) $(2.3)^x=(1.5)^{x+1}$
c) $\sqrt{x}=-1$

27. Cultivo de bacterias

$N(t)=$ modelo exponencial; 2500 iniciales; hallar en 2 h.

Fórmulas y ecuaciones

$P(t)=8000+2000\sin(\pi$ t/4)

$4^{x-1}=3^{3x}$

Glosario (1)

Convergencia: Una serie converge si sus sumas parciales tienen límite finito.

Temas y conceptos clave

Modelamiento con senoConvergencia de seriesEcuaciones exponencialesAmplitud sinusoidalSerie convergenteLogaritmo natural

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📌 Antes de leer esto

• Trigonometría
• Logaritmos
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Transformaciones de funciones

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Resuelvo el siguiente problema: En la provincia de El Oro, la población de orugas que afecta a la producción de maíz, después de t días está dada por la ecuación:

P(t) = 8000 + 2000 sin (22); oss |

a) ¿Cuál fue la población inicial de orugas?

b) ¿Cuál fue la población al quinto día?

c) ¿Cuál fue el mayor tamaño de la población?

d) ¿Cuándo la población alcanza los 600 individuos?

Grafico las siguientes funciones:

a) f(x) = (1,5)* b) f(x) = (0,7)" c) A(x) = 5 %2%

Determino el límite de las siguientes sucesiones:

o _ 1 a) Lae 2M, 2

b sen(n)-sen (n) ) x n(n+1) c) o_ 1 Y n= nt

Resuelvo las siguientes ecuaciones:

a) gel = 35% b) (2,3)*= (1,5)

c) Vx = -1

Resuelvo el siguiente problema:

En un laboratorio médico, para determinar el numero de individuos en un cultivo de bacterias, se emplea la expresión N(t)= B.004t , donde t se mide en minutos.

¿Cuántas bacterias habrá en dos horas, si inicialmente existían 2 500 bacterias?

Texto de Matemática

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