Ministerio de Educación del Ecuador

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Divisibilidad por inducción y media aritmética; Metacognición

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

7c-d) Se demuestran por inducción. 8b) $\sqrt[n]{n!}\leq (n+1)/2$ ; asintóticamente $\sim n/e$ .

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 15 min lectura

Solución — Página 41

Matematica 2° · Bgu 2 Matematica 2024 · 2024

Ejercicio 7

c: $n^2+5n$ divisible por 2

$n^2+5n=n(n+5)$ . Si $n$ es par, $n(n+5)$ es par. Si $n$ es impar, $n+5$ es par. En todo caso $n(n+5)$ es par.

Por inducción: Base $n=1$ : $1+5=6=2\cdot 3$ ✓. Paso: si $n^2+5n=2k$ , entonces $(n+1)^2+5(n+1)=n^2+2n+1+5n+5=n^2+5n+2n+6=2k+2(n+3)=2(k+n+3)$ . ✓

Ejercicio 7

d: $3n^2+15n+6$ divisible por 6

$3n^2+15n+6=3(n^2+5n+2)=3(n^2+5n)+6$ . Del ejercicio anterior $n^2+5n=2m$ , entonces $3\cdot 2m+6=6(m+1)$ . ✓

Ejercicio 8

b: $\sqrt[n]{n!}$

Aplicando la desigualdad AM-GM: $\sqrt[n]{n!}\leq \dfrac{1+2+\ldots+n}{n}=\dfrac{n+1}{2}$ . Asintóticamente por Stirling: $\sqrt[n]{n!}\approx n/e$ .

Contenido de la página

7. (cont.)

c) Demostrar que $n^2+5n$ es divisible por 2.
d) Demostrar que $3n^2+15n+6$ es divisible por 6 para $n\geq 1$ .

8. Media aritmética

a) $\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{8/3}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{16/5}+\ldots+\sqrt[3]{4n/(n+1)}$
b) $\sqrt[n]{n!}$

METACOGNICIÓN

Fórmulas y ecuaciones

Desigualdad AM-GM

$n^2+5n=n(n+5)$

$\sqrt[n]{n!}$

Glosario (1)

Desigualdad AM-GM: $AM\geq GM$: media aritmética $\geq$ media geométrica.

Preguntas para practicar

¿Qué he aprendido? ¿Cómo? ¿Para qué?

Temas y conceptos clave

Divisibilidad por inducciónDesigualdad AM-GMMetacogniciónDivisibilidadInducciónMedia aritméticaMedia geométrica

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📌 Antes de leer esto

• Inducción
• Álgebra

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Tema 2: Derivadas e Integrales

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 350 caracteres

c) Demuestro que para cada entero positivo n se cumple que:

(n? + Bn) es divisible por 2

d) Demuestro que: (3n? + 15n)+6 es divisible por 6; Vn >1

Calculo aplicando el teorema de la media aritmética.

E ESA E ar

n+1

¿En qué otras ocasiones puedo usarlo? ¿Para qué me ha servido? ¿Cómo lo he aprendido?

¿Qué he aprendido?

Texto de Matemática

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