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Tema 3: Optimización e integrales definidas

📄 teoria matematica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

5a) 150 m. 5b) $x=5\sqrt{6}$ cm, $h=5\sqrt{6}/2$ cm, $V\approx 918$ cm³. 5c) $x=2$ dm, $y=4$ dm, $C=\$ 32$.

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Solución — Página 44

Matematica 2° · 2024

Ejercicio 5

a: distancia en 5 s

$s=\int_0^5 v\,dt=\int_0^5 (3t^2+5)dt=[t^3+5t]_0^5=125+25=150$ m.

Ejercicio 5

b: caja sin tapa

Sea $x$ = lado de la base, $h$ = altura. Área total (base + 4 lados) $=x^2+4xh=450$ . Volumen $V=x^2h=x^2\cdot\dfrac{450-x^2}{4x}=\dfrac{x(450-x^2)}{4}=\dfrac{450x-x^3}{4}$ .

$V'=(450-3x^2)/4=0\Rightarrow x^2=150\Rightarrow x=\sqrt{150}=5\sqrt{6}\approx 12.25$ cm. $h=(450-150)/(4\cdot 5\sqrt{6})=300/(20\sqrt{6})=15/\sqrt{6}=5\sqrt{6}/2\approx 6.12$ cm.

Dimensiones: $x\approx 12.25$ cm, $h\approx 6.12$ cm; $V_{max}\approx 918$ cm³.

Ejercicio 5

c: marco de fotografía

Sean $x$ = ancho, $y$ = alto (dm). Área foto: $xy=8\Rightarrow y=8/x$ . Costo del marco: $C=2(2y)+4(2x)=4y+8x=32/x+8x$ .

$C'=-32/x^2+8=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=2$ dm. $y=4$ dm. $C_{min}=32/2+16=16+16=32$ dólares.

Contenido de la página

Tema 3: Optimización e integrales definidas

¿Sabías qué? Pasos: identificar función a optimizar, variables, restricciones, primera derivada, puntos críticos y verificación con segunda derivada.

5. Problemas

a) Auto con $v(t)=(3t^2+5)$ m/s. Distancia en 5 s.
b) Caja sin tapa, base cuadrada, área 450 cm²: volumen máximo.
c) Marco de 8 dm², costo lateral $2/dm, superior/inferior \$ 4/dm: minimizar costo.

Fórmulas y ecuaciones

$s=\int v\,dt$

$v=3t^2+5$

$x^2+4xh=450$

xy=8

Glosario (2)

Función objetivo: Función que se busca maximizar o minimizar.
Restricción: Ecuación o desigualdad que debe satisfacer la solución.

Temas y conceptos clave

OptimizaciónDistancia por integraciónFunción objetivoRestriccionesPunto críticoSegunda derivada

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Tema 3: Optimización e integrales definidas Responde la siguiente pregunta:

¿Cómo la optimización se utiliza para mejorar procesos, maximizar beneficios o minimizar costos en campos como la ingeniería, la gestión empresarial o la planificación logística?

¿Sabías qué?

Los pasos para resolver un ejercicio de optimización son los siguientes:

Identificar la función a optimizar. La función a optimizar es la función que se desea maximizar o minimizar. En algunos casos, la función a optimizar puede estar implícita en el enunciado del problema.

Identificar las variables de la función. Las variables de la función son los valores que se pueden variar para optimizar la función.

Establecer las restricciones del problema. Las restricciones del problema son las condiciones que deben cumplirse para que la solución sea válida.

Resolver la ecuación de la primera derivada. La ecuación de la primera derivada es una ecuación que relaciona las variables de la función. Esta ecuación se puede usar para encontrar los puntos críticos de la función.

Examinar los puntos críticos. Los puntos críticos de la función pueden ser máximos, mínimos, o puntos de silla. Para determinar el tipo de extremo, se puede usar el criterio de la segunda derivada.

Comprobar las restricciones. Una vez que se han encontrado los puntos críticos, se deben comprobar las restricciones del problema para determinar si son soluciones válidas.

Resuelvo los siguientes problemas: a) Un automóvil parte del reposo, y se mueve a una velocidad dada numéricamente por

v=(3t?+5)T—, Determino la distancia recorrida por el automóvil en los primeros 5 segundos.

b) Se desea fabricar una caja sin tapa, con una base cuadrada y con un área de 450 cm? ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja si se necesita que el volumen sea máximo?

c) Se desea construir un marco rectangular de madera que encierre una fotografía con una superficie de 8 dm?. El precio del marco lateral es $2 por cada dm y el del marco superior e inferior es de $4 por cada dm. Calculo las dimensiones del marco para que su coste sea mínimo. ¿Cuál es este coste?

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