¿A 400 nm es posible detectar con el ojo la radiación de un cuerpo negro?

Sí, pero con baja sensibilidad (límite violeta)

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Radiación de cuerpo negro, luz visible y ley de Wien

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Respuesta rápida

a.i) Verdadero: todo cuerpo con $T>0$ emite radiación. a.ii) Verdadero: en la oscuridad solo hay infrarrojo, invisible al ojo. b.i) 400 nm a 700 nm. b.ii) $T\approx7250\ \text{K}$ . b.iii) Sí, límite violeta, pero perceptible solo con intensidad alta. b.iv) $T\approx5200\ \text{K}$ .

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 228

Fisica 3° · 2024

Ejercicio a

Sobre la radiación de un cuerpo negro, argumento o refuto las siguientes afirmaciones.

Parte a.a

i) "Todos los objetos emiten energía"

Argumento (la afirmación es correcta). Todo objeto con temperatura superior al cero absoluto ( $T>0\ \text{K}$ ) emite radiación térmica, según el cuerpo negro. A temperatura ambiente ( $T\approx 300\ \text{K}$ ) la intensidad es baja y se emite sobre todo en el infrarrojo, pero no es nula. La ley de Stefan–Boltzmann lo cuantifica:

$P/A=\sigma T^{4},\qquad \sigma=5.67\times10^{-8}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\text{K}^{-4}$

Por ejemplo, a $T=300\ \text{K}$ : $P/A=(5.67\times10^{-8})(300)^{4}\approx 459\ \text{W/m}^{2}$ . Además, la ley de Planck da el espectro:

$I(\lambda,T)=\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\frac{1}{e^{hc/(\lambda k_{B}T)}-1}$

Respuesta

afirmación verdadera; todos los cuerpos emiten energía electromagnética por su temperatura.

Parte a.a

ii) "El ojo humano no es capaz de ver todos los objetos de un cuarto obscuro"

Argumento (la afirmación es correcta). El ojo humano solo detecta longitudes de onda entre unos $400\ \text{nm}$ y $700\ \text{nm}$ (luz visible). Un objeto a temperatura ambiente irradia según la ley de Wien con máximo en

$\lambda_{max}=\frac{b}{T},\qquad b=2.898\times10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$

Para $T=300\ \text{K}$ : $\lambda_{max}=\frac{2.898\times10^{-3}}{300}\approx 9.7\times10^{-6}\ \text{m}=9.7\ \mu\text{m}$ , muy lejos del rango visible.

Respuesta

afirmación verdadera; los objetos fríos irradian en el infrarrojo, invisible para el ojo.

Ejercicio b

Parte b.b

i) Rango de longitudes de onda de la luz visible

El espectro visible va desde el violeta hasta el rojo.
Según el diagrama del libro: violeta $\approx 400\ \text{nm}$ ; azul, verde (pico de sensibilidad $560\ \text{nm}$ ), amarillo, naranja y rojo hasta $\approx 700\ \text{nm}$ .

Respuesta

$400\ \text{nm}\leq\lambda\leq 700\ \text{nm}$ .

Parte b.b

ii) Temperatura del cuerpo negro que radía a $400\ \text{nm}$

Ley de Wien: $\lambda_{max}\,T=b$ .
Despejo: $T=\dfrac{b}{\lambda_{max}}$ .
Sustitución con $\lambda_{max}=400\ \text{nm}=4.00\times10^{-7}\ \text{m}$ :

$T=\frac{2.898\times10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}}{4.00\times10^{-7}\ \text{m}}=7245\ \text{K}$

Respuesta

$T\approx 7.2\times10^{3}\ \text{K}$ (≈ 7250 K).

Parte b.b

iii) ¿Se puede percibir con el ojo la radiación a $400\ \text{nm}$?

$400\ \text{nm}$ es el límite inferior del espectro visible (violeta).
Sí es visible, pero la sensibilidad del ojo en los extremos es muy baja: hace falta una radiación intensa para percibirse.
Además, la energía de un fotón a esa longitud de onda es alta: $E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{(6.63\times10^{-34})(3\times10^{8})}{4.00\times10^{-7}}\approx 5.0\times10^{-19}\ \text{J}=3.1\ \text{eV}$ , suficiente para el efecto fotoeléctrico en varios metales (por ejemplo, $W_{Zn}=4.3\ \text{eV}$ se requiere mayor energía, pero en $W_{Cs}=2.1\ \text{eV}$ sí hay emisión de fotoelectrones).

Respuesta

sí, es el límite visible (violeta); se percibe solo con intensidad alta y eficiencia baja del ojo.

Parte b.b

iv) Temperatura del cuerpo negro con máximo a $560\ \text{nm}$

Ley de Wien: $\lambda_{max}\,T=b$ .
Sustitución con $\lambda_{max}=560\ \text{nm}=5.60\times10^{-7}\ \text{m}$ :

$T=\frac{2.898\times10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}}{5.60\times10^{-7}\ \text{m}}\approx 5175\ \text{K}$

Redondeo a dos cifras significativas: $T\approx 5.2\times10^{3}\ \text{K}$ .

Sobre Heisenberg (nota del enunciado): el principio de incertidumbre, $\Delta x\,\Delta p\geq\dfrac{\hbar}{2}$ , explica por qué el fotón y el electrón no tienen posición y momento simultáneamente definidos; de ahí que se trate la radiación como ondas de fotones y por qué existen espectros continuos (cuerpo negro) y no de líneas arbitrarias.

Respuesta

$T\approx 5.2\times10^{3}\ \text{K}$ (≈ 5175 K).

Contenido de la página

Radiación de cuerpo negro y espectro visible

Con base en la radiación de un cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, la radiación electromagnética y el principio de incertidumbre de Heisenberg, se responden las preguntas.

Imagen del espectro

El diagrama muestra el espectro electromagnético con frecuencia en Hz y longitud de onda: rayos gamma (~1 pm), rayos X, ultravioleta, luz visible (~400 nm a 700 nm), infrarrojo, microondas, Ondas AM, TV y FM, Ondas de radio y Ondas AM, con frecuencias desde $10^{20}$ hasta $10^{4}$ Hz.

a) Radiación de cuerpo oscuro (negro)

i) Todos los objetos emiten energía. — Verdadero; todo cuerpo con $T>0\ \text{K}$ irradia según el cuerpo negro, $P/A=\sigma T^{4}$ .

ii) En un cuarto obscuro no se ven todos los objetos. — Verdadero; la emisión es mayoritariamente infrarroja ( $\lambda_{max}\approx 9.7\ \mu\text{m}$ a $300\ \text{K}$ ), fuera del rango del ojo humano.

b) Sensibilidad del ojo a $560\ \text{nm}$

i) Rango visible: $400\ \text{nm}$ (violeta) a $700\ \text{nm}$ (rojo).

ii) Temperatura con radiación a $400\ \text{nm}$ : $T=b/\lambda=7245\ \text{K}$ .

iii) Percibimiento a $400\ \text{nm}$ : sí, es el límite violeta del visible, pero con baja sensibilidad del ojo.

iv) Temperatura con pico a $560\ \text{nm}$ : $T=b/\lambda\approx5175\ \text{K}$ .

Relación con Heisenberg

El principio de incertidumbre $\Delta x\,\Delta p\geq\hbar/2$ impide definir con precisión simultánea posición y momento de fotones y electrones, lo que sustenta la descripción onda–partícula de la radiación y la naturaleza estadística de los espectros.

Ejemplos resueltos

Temperatura de un cuerpo negro que radía con máximo a $400\ \text{nm}$ .

$T=b/\lambda=(2.898\times10^{-3})/(4.00\times10^{-7})=7245\ \text{K}$ .

Máximo de emisión a $560\ \text{nm}$ .

$T=(2.898\times10^{-3})/(5.60\times10^{-7})\approx5175\ \text{K}$ .

Emisión térmica a temperatura ambiente.

$\lambda_{max}=2.898\times10^{-3}/300\approx9.7\ \mu\text{m}$ (infrarrojo, invisible).

Tabla

Magnitud	Fórmula	Valor/Resultado
Rango visible	—	400 nm a 700 nm
Temperatura con λ=400 nm	$T=b/\lambda$	7245 K
Temperatura con λ=560 nm	$T=b/\lambda$	5175 K
Emisión a 300 K	$P/A=\sigma T^4$	≈ 459 W/m²
Pico de emisión a 300 K	$\lambda_{max}=b/T$	≈ 9.7 µm

Diagrama

mindmap
  root((Espectro EM))
    Rayos gamma
      λ ~ pm
    Rayos X
      λ ~ nm
    Ultravioleta
      10–400 nm
    Luz visible
      400 nm violeta
      560 nm verde
      700 nm rojo
    Infrarrojo
      700 nm – 1 mm
    Microondas
      mm – cm
    Ondas de radio
      AM, FM, TV

Fórmulas y ecuaciones

Ley de Wien: $\lambda_{max}=b/T$

Ley de Stefan–Boltzmann: $P/A=\sigma T^{4}$

Energía del fotón: $E=hc/\lambda$

Efecto fotoeléctrico: $hf=W+K_{max}$

Principio de incertidumbre: $\Delta x\,\Delta p\geq\hbar/2$

$\lambda_{max}T=b,\quad$ $b=2.898\times10^{-3}\$ $\text{m}@@MATH_0@@\text{K}$

$P/A=\sigma$ $T^{4},\quad$ $\sigma=5.67\times10^{-8}\$ $\text{W}@@MATH_0@@^{-2}@@MATH_1@@^{-4}$

$I(\lambda,T)=@@MATH_0@@\frac{1}{e^{hc/(\lambda k_{B}T)}-1}$

E= $\frac{hc}{\lambda}$

$\Delta$ $x\,\Delta$ $p\geq$ $\frac{\hbar}{2}$

Glosario (6)

Cuerpo negro: Objeto ideal que absorbe toda la radiación incidente y emite, a la temperatura dada, el espectro máximo posible.
Ley de Wien: Relación $\lambda_{max}T=b\approx2.898\times10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$ entre la longitud de onda de máxima emisión y la temperatura absoluta.
Luz visible: Rango de longitudes de onda perceptibles por el ojo humano, de unos 400 nm a 700 nm.
Efecto fotoeléctrico: Emisión de electrones al incidir luz sobre un material, con $E_{fotón}=hf=W+K_{max}$.
Principio de incertidumbre de Heisenberg: Límite cuántico $\Delta x\,\Delta p\geq\hbar/2$ que impide medir simultáneamente con precisión arbitraria posición y momento.
Radiación térmica: Radiación electromagnética emitida por un cuerpo por su temperatura, independiente del material.

Preguntas para practicar

¿Por qué un cuerpo a temperatura ambiente no se ve en la oscuridad si emite energía?

Porque su radiación se concentra en el infrarrojo (~9.7 µm para 300 K), fuera del rango visible de 400–700 nm que detecta el ojo humano.

¿Qué relación establece el principio de incertidumbre entre la posición y el momento de un fotón?

Establece Δx·Δp ≥ ħ/2: no es posible conocer simultáneamente con precisión arbitraria ambas magnitudes, lo que fundamenta la naturaleza onda–partícula de la radiación.

Temas y conceptos clave

Radiación de cuerpo negroEspectro electromagnético y luz visibleLey de WienEfecto fotoeléctricoPrincipio de incertidumbre de Heisenbergcuerpo negroradiación térmicaespectro visible 400–700 nmley de Wienpico de emisióninfrarrojoefecto fotoeléctricoprincipio de incertidumbre

Fuentes y referencias

https://n9.cl/sizk3

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¿Qué rango de longitudes de onda cubre la luz visible para el ojo humano?

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📌 Antes de leer esto

• Conocer el espectro electromagnético y sus bandas
• Ley de Stefan-Boltzmann y ley de Planck (concepto)
• Ley de Wien y constante $b=2.898\times10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$
• Efecto fotoeléctrico y energía del fotón $E=hc/\lambda$

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Efecto fotoeléctrico: relación entre energía del fotón, función trabajo y energía cinética del fotoelectrón

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Fuente: https://n9.cl/sizk3

a) Sobre la radiación de un cuerpo oscuro, argumento o refuto las siguientes afirmaciones. i) Todos los objetos emiten energía.

ii) El ojo humano no es capaz de ver todos los objetos que existen en un cuarto que carece de luz o está obscuro.

b) El ojo humano tiene una máxima sensibilidad a la luz de 560 nm. Por tanto, respondo: i) ¿Cuál es el rango de la longitud de onda de la luz visible?

'8 y X y iii) ¿A los 400 nm es posible detectar o percibir con el ojo humano la radiación de un cuerpo negro?

'8 y

iv) ¿Cuál es la temperatura del cuerpo negro cuando su radio está en el punto más intenso equivalente a 560 nm de longitud de onda?

Texto de Física (777

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