Ejercicio 8: Un átomo en movimiento
8. Realizo los siguientes ejercicios:
UN ÁTOMO EN MOVIMIENTO
a) Si un átomo de masa 2,25×10⁻²⁶ Kg oscila de manera lineal con una frecuencia propia de 5,15×10¹⁴ Hz, determino:
i) ¿Cuál es el valor de un cuanto de energía del oscilador?
[Espacio para cálculo:
E = h \cdot f = 6{,}626 \times 10^{-34} \times 5{,}15 \times 10^{14} \approx 3{,}41 \times 10^{-19}\,\text{J} \approx 2{,}13\,\text{eV}
*]
ii) ¿Cuál es la amplitud máxima que adquiere con 20 cuantos de energía?
[Espacio para cálculo:
E_{\text{total}} = 20 \times E_1 = 20 \times 3{,}41 \times 10^{-19} = 6{,}82 \times 10^{-18}\,\text{J}
E = \tfrac{1}{2} m \omega^2 A^2 \Rightarrow A = \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5{,}15 \times 10^{14}\,\text{rad/s}
A = \sqrt{\frac{2 \times 6{,}82 \times 10^{-18}}{2{,}25 \times 10^{-26} \times (2\pi \times 5{,}15 \times 10^{14})^2}} \approx 1{,}26 \times 10^{-10}\,\text{m}
*]
b) Si un electrón de masa m_e = 11,22×10⁻³¹ Kg y una bala de cañón de masa m_c = 2 g tienen una rapidez igual de 500 m/s con una precisión dentro del 0.0150%.
i) ¿Qué conceptos debo manejar para resolver el problema? Señalo y coloco las ecuaciones correspondientes
[Espacio para respuesta:
Conceptos: principio de incertidumbre de Heisenberg (Δx·Δp≥ℏ/2), longitud de onda de De Broglie (λ=h/mv). La precisión del 0.0150% en velocidad implica:
\Delta p = 0{,}000150 \times m \times v
*]
ii) ¿En qué límites es posible determinar la posición de los objetos a lo largo de la dirección de la velocidad?
[Espacio para cálculo:
\Delta x \geq \frac{\hbar}{2 \Delta p} = \frac{h}{4\pi \cdot 0{,}000150 \cdot m \cdot v}
Para el electrón: \Delta x_e \geq \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{4\pi \times 0{,}000150 \times 11{,}22 \times 10^{-31} \times 500} \approx 6{,}27 \times 10^{-4}\,\text{m} \approx 0{,}63\,\text{mm} (macroscópicamente significativo)
Para la bala: \Delta x_c \geq \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{4\pi \times 0{,}000150 \times 2 \times 10^{-3} \times 500} \approx 3{,}52 \times 10^{-31}\,\text{m} (completamente despreciable)
*]
c) El molibdeno tiene una función trabajo de 4,20 eV.
i) Indico a qué luz corresponde la frecuencia umbral del molibdeno.
[Espacio para respuesta:
\nu_0 = \frac{\phi}{h} = \frac{4{,}20 \times 1{,}602 \times 10^{-19}}{6{,}626 \times 10^{-34}} \approx 1{,}015 \times 10^{15}\,\text{Hz}
λ₀=c/ν₀≈3×10⁸/1.015×10¹⁵≈296 nm → ultravioleta (UV). Solo luz UV puede producir efecto fotoeléctrico en molibdeno.]
ii) Calculo la energía de un fotón el rojo=700 nm.
[Espacio para cálculo:
E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{700 \times 10^{-9}} \approx 2{,}84 \times 10^{-19}\,\text{J} \approx 1{,}78\,\text{eV}
1.78 eV < 4.20 eV = φ → la luz roja NO produce efecto fotoeléctrico en molibdeno.]
iii) Calculo la energía de un fotón el azul=700 nm.
[Espacio para cálculo (nota: el libro indica 700nm para ambos rojo y azul — posible error tipográfico, el azul típicamente es ~400-450 nm):
E_{\text{azul, 400 nm}} = \frac{hc}{400 \times 10^{-9}} \approx 4{,}97 \times 10^{-19}\,\text{J} \approx 3{,}10\,\text{eV}
3.10 eV < 4.20 eV = φ → la luz azul tampoco produce efecto fotoeléctrico en molibdeno. Se necesita UV.]
iv) Determino, ¿cuál es el potencial de frenado si la luz incidente tiene una longitud de onda de 180 nm?
[Espacio para cálculo:
E_{\text{fotón}} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{180 \times 10^{-9}} \approx 11{,}04 \times 10^{-19}\,\text{J} \approx 6{,}89\,\text{eV}
V_{\text{frenado}} = \frac{E_{\text{fotón}} - \phi}{e} = \frac{6{,}89 - 4{,}20}{1}\,\text{V} \approx 2{,}69\,\text{V}
*]
