(8.a.i) Dado un átomo de m=2,25×10^-26 kg con =5,15×10^14 Hz, calcular el cuanto de energía del oscilador.

E ≈ 3,41×10^-19 J ≈ 2,13 eV

(8.b.ii) Límites de determinación de la posición en la dirección del movimiento.

x_e ≥ 6,3×10^-4 m; x_c ≥ 3,5×10^-31 m

(8.c.i) Frecuencia umbral del molibdeno (Φ = 4,20 eV) e identificación de la luz.

_0 ≈ 1,02×10^15 Hz, _0 ≈ 295 nm (UV)

(8.c.ii) Energía de un fotón rojo de 700 nm.

E_rojo = 2,84×10^-19 J = 1,77 eV

(8.c.iii) Energía de un fotón azul (el libro indica 700 nm, error tipográfico; se usa el azul típico de 450 nm).

E_azul ≈ 2,76×10^-19 J = 2,76 eV

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

234/273

Ejercicios: un átomo en movimiento, incertidumbre de de Broglie y efecto fotoeléctrico

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 234

234 de 273

Anterior Página 234 / 273 Siguiente

Respuesta rápida

8.a.i: $\Delta E=h\nu=3{,}41\times 10^{-19}\,\text{J}\approx 2{,}13\,\text{eV}$ . 8.a.ii: $A\approx 7{,}6\times 10^{-12}\,\text{m}$ . 8.b.i: incertidumbre de Heisenberg $\Delta x\Delta p\ge h/4\pi$ , con $\Delta p=m\Delta v$ . 8.b.ii: $\Delta x_{electrón}\ge 6{,}3\times 10^{-4}\,\text{m}$ ; $\Delta x_{bala}\ge 3{,}5\times 10^{-31}\,\text{m}$ . 8.c.i: $\nu_0\approx 1{,}02\times 10^{15}\,\text{Hz}$ ( $\lambda_0\approx 295\,\text{nm}$ , UV). 8.c.ii: $E\approx 2{,}84\times 10^{-19}\,\text{J}\;(1{,}77\,\text{eV})$ . 8.c.iii: $E\approx 2{,}76\times 10^{-19}\,\text{J}\;(2{,}76\,\text{eV})$ . 8.c.iv: $V_0\approx 2{,}69\,\text{V}$ .

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 7 min lectura

Solución — Página 234

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 8

a — UN ÁTOMO EN MOVIMIENTO

Un átomo de masa $m=2{,}25\times 10^{-26}\,\text{kg}$ oscila linealmente con frecuencia propia $\nu=5{,}15\times 10^{14}\,\text{Hz}$ .

Parte 8.a

i — ¿Cuál es el valor de un cuanto de energía del oscilador?

El cuanto de energía del oscilador armónico (Ecuación de Planck–Einstein) es $\Delta E=h\nu$ .
Sustituyo $h=6{,}626\times 10^{-34}\,\text{J·s}$ y $\nu=5{,}15\times 10^{14}\,\text{Hz}$ :
$\Delta E=(6{,}626\times 10^{-34})(5{,}15\times 10^{14})=3{,}41\times 10^{-19}\,\text{J}$ .
En electrón-voltios: $\Delta E=\frac{3{,}41\times 10^{-19}}{1{,}602\times 10^{-19}}\approx 2{,}13\,\text{eV}$ .

Respuesta

$\Delta E\approx 3{,}41\times 10^{-19}\,\text{J}\;(\approx 2{,}13\,\text{eV})$ .

Parte 8.a

ii — Amplitud máxima con 20 cuantos de energía

Con 20 cuantos, la energía total es $E=20\,\Delta E=20\times 3{,}412\times 10^{-19}=6{,}82\times 10^{-18}\,\text{J}$ .
Para un oscilador armónico: $E=\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}$ , con $\omega=2\pi\nu$ .
$\omega=2\pi(5{,}15\times 10^{14})=3{,}236\times 10^{15}\,\text{rad/s}$ , luego $\omega^{2}=(3{,}236\times 10^{15})^{2}=1{,}047\times 10^{31}\,\text{s}^{-2}$ .
$m\omega^{2}=(2{,}25\times 10^{-26})(1{,}047\times 10^{31})=2{,}36\times 10^{5}\,\text{N/m}$ (valor de $k$ ).
Despejo la amplitud: $A=\sqrt{\frac{2E}{m\omega^{2}}}=\sqrt{\frac{2(6{,}82\times 10^{-18})}{2{,}36\times 10^{5}}}=\sqrt{5{,}79\times 10^{-23}}$ .
$A\approx 7{,}6\times 10^{-12}\,\text{m}$ (es decir, unas $7{,}6\,\text{pm}$ , comparable al radio atómico).

Respuesta

$A\approx 7{,}6\times 10^{-12}\,\text{m}$ .

Ejercicio 8

b — Incertidumbre de de Broglie

Un electrón ( $m_e=11{,}22\times 10^{-31}\,\text{kg}$ ) y una bala ( $m_c=2\,\text{g}=2\times 10^{-3}\,\text{kg}$ ) viajan a $v=500\,\text{m/s}$ con precisión dentro del $0{,}0150\%$ .

Parte 8.b

i — Conceptos y ecuaciones a manejar

Principio de incertidumbre de Heisenberg: $\Delta x\,\Delta p\ge \frac{h}{4\pi}=\frac{\hbar}{2}$ .
Relación momento–velocidad: $p=mv$ , de modo que la incertidumbre en el momento es $\Delta p=m\,\Delta v$ .
Precisión relativa: $\Delta v=v\times\frac{0{,}0150}{100}=500\times 1{,}5\times 10^{-4}=7{,}5\times 10^{-2}\,\text{m/s}$ .
Energía cinética cuántica del fotón/emisión y longitud de onda de de Broglie $\lambda=\frac{h}{p}$ son complementarias, pero aquí rige la incertidumbre en $x$ .

Respuesta orientativa: se aplica $\Delta x\,\Delta p\ge \frac{h}{4\pi}$ con $\Delta p=m\Delta v$ y $\Delta v=0{,}075\,\text{m/s}$ .

Parte 8.b

ii — Límites de determinación de la posición

Electrón: $\Delta p_e=m_e\Delta v=(11{,}22\times 10^{-31})(0{,}075)=8{,}42\times 10^{-32}\,\text{kg·m/s}$ .
$\Delta x_e\ge\frac{h}{4\pi\,\Delta p_e}=\frac{6{,}626\times 10^{-34}}{4\pi(8{,}42\times 10^{-32})}=\frac{6{,}626\times 10^{-34}}{1{,}06\times 10^{-30}}\approx 6{,}3\times 10^{-4}\,\text{m}$ .
Electrón: $\Delta x_e\ge 0{,}63\,\text{mm}$ (la posición es imposible de determinar con precisión atómica: se necesita luz de longitud de onda menor que el átomo).
Bala: $\Delta p_c=(2\times 10^{-3})(0{,}075)=1{,}5\times 10^{-4}\,\text{kg·m/s}$ .
$\Delta x_c\ge\frac{6{,}626\times 10^{-34}}{4\pi(1{,}5\times 10^{-4})}\approx 3{,}5\times 10^{-31}\,\text{m}$ .
Bala: $\Delta x_c\ge 3{,}5\times 10^{-31}\,\text{m}$ , insignificante frente a cualquier longitud de onda de luz ( $\sim10^{-7}\,\text{m}$ ), es decir, la bala es perfectamente localizable y su comportamiento es clásico.

Respuesta

electrón: $\Delta x\ge 6{,}3\times 10^{-4}\,\text{m}$ (posición indeterminable); bala: $\Delta x\ge 3{,}5\times 10^{-31}\,\text{m}$ (posición determinable clásicamente).

Ejercicio 8

c — EL EFECTO FOTOELÉCTRICO EN EL MOLIBDENO

Función trabajo del molibdeno: $\Phi=4{,}20\,\text{eV}=4{,}20\times 1{,}602\times 10^{-19}=6{,}73\times 10^{-19}\,\text{J}$ .

Parte 8.c

i — Frecuencia umbral y a qué luz corresponde

$\nu_0=\frac{\Phi}{h}=\frac{6{,}73\times 10^{-19}}{6{,}626\times 10^{-34}}=1{,}015\times 10^{15}\,\text{Hz}$ .
Longitud de onda umbral: $\lambda_0=\frac{c}{\nu_0}=\frac{3{,}0\times 10^{8}}{1{,}015\times 10^{15}}=2{,}95\times 10^{-7}\,\text{m}=295\,\text{nm}$ .
$295\,\text{nm}$ cae en el ultravioleta (corta longitud de onda, alta frecuencia).

Respuesta

$\nu_0\approx 1{,}02\times 10^{15}\,\text{Hz}$ ( $\lambda_0\approx 295\,\text{nm}$ ), luz ultravioleta.

Parte 8.c

ii — Energía de un fotón rojo de $700\,\text{nm}$

$E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{(6{,}626\times 10^{-34})(3{,}0\times 10^{8})}{700\times 10^{-9}}$ .
$E=\frac{1{,}988\times 10^{-25}}{7{,}0\times 10^{-7}}=2{,}84\times 10^{-19}\,\text{J}$ .
En eV: $E=\frac{1240\,\text{eV·nm}}{700\,\text{nm}}=1{,}77\,\text{eV}$ .

Respuesta

$E_{rojo}\approx 2{,}84\times 10^{-19}\,\text{J}\approx 1{,}77\,\text{eV}$ .

Parte 8.c

iii — Energía de un fotón azul (en el libro aparece «$700\,\text{nm}$»; el valor típico del azul es $450\,\text{nm}$)

Si se toma literalmente $\lambda=700\,\text{nm}$ , el resultado es idéntico al del inciso ii): $E=1{,}77\,\text{eV}$ .
Con el valor típico del azul ( $\lambda=450\,\text{nm}$ ): $E=\frac{1240\,\text{eV·nm}}{450\,\text{nm}}=2{,}76\,\text{eV}$ .
En julios: $E=2{,}76\times 1{,}602\times 10^{-19}=4{,}42\times 10^{-19}\,\text{J}$ .
Como $E=2{,}76\,\text{eV}<\Phi=4{,}20\,\text{eV}$ , ni el rojo ni el azul emiten electrones del molibdeno: se requiere UV.

Respuesta

$E_{azul}\approx 2{,}76\times 10^{-19}\,\text{J}\approx 2{,}76\,\text{eV}$ (y $1{,}77\,\text{eV}$ si se usa $700\,\text{nm}$ ).

Parte 8.c

iv — Potencial de frenado con $\lambda=180\,\text{nm}$

$E_{fotón}=\frac{1240\,\text{eV·nm}}{180\,\text{nm}}=6{,}89\,\text{eV}$ .
Ecuación de Einstein: $E_{fotón}=\Phi+K_{máx}$ , con $K_{máx}=eV_0$ .
$eV_0=6{,}89\,\text{eV}-4{,}20\,\text{eV}=2{,}69\,\text{eV}$ .
$V_0=\frac{2{,}69\,\text{eV}}{e}=2{,}69\,\text{V}$ .

Respuesta

$V_0\approx 2{,}69\,\text{V}$ (≈ $2{,}7\,\text{V}$ ).

Contenido de la página

8. Realizo los siguientes ejercicios

UN ÁTOMO EN MOVIMIENTO

a) Un átomo de masa $m=2{,}25\times 10^{-26}\,\text{kg}$ oscila linealmente con frecuencia propia $\nu=5{,}15\times 10^{14}\,\text{Hz}$ .

i) ¿Cuál es el valor de un cuanto de energía del oscilador?
ii) ¿Cuál es la amplitud máxima que adquiere con 20 cuantos de energía?

b) Un electrón de masa $m_e=11{,}22\times 10^{-31}\,\text{kg}$ y una bala de cañón de masa $m_c=2\,\text{g}$ tienen rapidez igual a $500\,\text{m/s}$ con precisión dentro del $0{,}0150\%$ .

i) ¿Qué conceptos debo manejar para resolver el problema? Señalo y coloco las ecuaciones correspondientes.
ii) ¿En qué límites es posible determinar la posición de los objetos a lo largo de la dirección de la velocidad?

c) El molibdeno tiene una función trabajo de $4{,}20\,\text{eV}$ .

i) Indico a qué luz corresponde la frecuencia umbral del molibdeno.
ii) Calculo la energía de un fotón rojo de $\lambda=700\,\text{nm}$ .
iii) Calculo la energía de un fotón azul (en el libro aparece « $700\,\text{nm}$ », claramente un error tipográfico; el azul típico es $\sim450\,\text{nm}$ ).
iv) Determino el potencial de frenado si la luz incidente tiene longitud de onda de $180\,\text{nm}$ .

Nota: el número del ejercicio (8) aparece arriba; el folio impreso dice «Texto de Física 233» (página 234 del archivo digital). El inciso c.iii del libro repite «700 nm», inconsistente con «azul».

Ejemplos resueltos

El fotón de un fotón rojo de $700\,\text{nm}$ en el efecto fotoeléctrico sobre un metal con $\Phi=2{,}1\,\text{eV}$ .

$E=\frac{1240}{700}=1{,}77\,\text{eV}$ ; como $1{,}77<2{,}1\,\text{eV}$ , no hay emisión de electrones.

Una bala de $2\,\text{g}$ se mueve a $500\,\text{m/s}$ con precisión del $0{,}015\%$ .

$\Delta v=0{,}075\,\text{m/s}$ ; $\Delta x\ge\frac{6{,}626\times10^{-34}}{4\pi(2\times10^{-3})(0{,}075)}\approx 3{,}5\times10^{-31}\,\text{m}$ : la posición es perfectamente determinable.

Tablas (2)

Magnitud	Electrón	Bala de cañón
Masa	$11{,}22\times10^{-31}\,\text{kg}$	$2\times10^{-3}\,\text{kg}$
$\Delta v$	$0{,}075\,\text{m/s}$	$0{,}075\,\text{m/s}$
$\Delta p$	$8{,}42\times10^{-32}\,\text{kg·m/s}$	$1{,}5\times10^{-4}\,\text{kg·m/s}$
$\Delta x_{mín}$	$6{,}3\times10^{-4}\,\text{m}$	$3{,}5\times10^{-31}\,\text{m}$
Comportamiento	Cuántico (posición indeterminada)	Clásico (posición determinada)

Magnitud	Valor
$\Phi$ (molibdeno)	$4{,}20\,\text{eV}$
$\nu_0$	$1{,}02\times10^{15}\,\text{Hz}$
$\lambda_0$	$295\,\text{nm}$ (UV)
$E$ rojo $700\,\text{nm}$	$2{,}84\times10^{-19}\,\text{J} = 1{,}77\,\text{eV}$
$E$ azul $450\,\text{nm}$	$4{,}42\times10^{-19}\,\text{J} = 2{,}76\,\text{eV}$
$E$ luz $180\,\text{nm}$	$6{,}89\,\text{eV}$
$V_0$	$2{,}69\,\text{V}$

Diagramas (2)

flowchart LR
  A[Datos: m, v, precisión] --> B[Δv = v × %/100]
  B --> C[Δp = m Δv]
  C --> D{Δx = h/(4π Δp)}
  D --> E[Electrón: 6,3×10⁻⁴ m — cuántico]
  D --> F[Bala: 3,5×10⁻³¹ m — clásico]

flowchart TD
  G[Fotón: E = hc/λ] --> H{E > Φ?}
  H -->|No: λ > 295 nm| I[Sin emisión de fotoelectrones]
  H -->|Sí: λ < 295 nm| J[K máx = E − Φ]
  J --> K[Potencial de frenado V₀ = K máx/e]

Fórmulas y ecuaciones

$\Delta$ E = $h\nu$ = $3{,}41\times$ $10^{-19}\$ , $\text{J}$

A = $\sqrt{\frac{2(20\Delta E)}{m\omega^{2}}}$ $\approx$ $7{,}6\times$ $10^{-12}\$ , $\text{m}$

$\Delta$ x $\ge$ $\frac{h}{4\pi m\Delta v}$

$\nu_0$ = $1{,}02\times$ $10^{15}\$ , $\text{Hz}$ $\;(\lambda_0$ $\approx$ $295\$ , $\text{nm}$ ,\ UV)

$V_0$ $\approx$ $2{,}69\$ , $\text{V}$

$\Delta$ E = $h\nu$

$\omega$ = $2\pi\nu$

E = $\frac{1}{2}@@MATH_0@@m\omega^{2}A^{2}$

$\Delta$ $x\,\Delta$ p $\ge$ $\frac{h}{4\pi}$

$\Delta$ p = $m\,\Delta$ v

$\lambda$ = $\frac{h}{p}$ = $\frac{h}{mv}$

$\nu_0$ = $\frac{\Phi}{h}$ , $\quad$ $\lambda_0$ = $\frac{c}{\nu_0}$

$E_{fot$ $\acute{n}$ } = $h\nu$ = $\frac{hc}{\lambda}$

$E_{fot@@MATH_0@@\acute{a}$ x}, $\quad$ $K_{m$ $\acute{a}$ x} = $eV_0$

$V_0$ = $\frac{hc}{e\lambda}$ - $\frac{\Phi}{e}$

Glosario (8)

Cuanto de energía: La cantidad mínima y discreta de energía que puede intercambiar un oscilador o campo: ΔE = hν.
Frecuencia propia: Frecuencia de oscilación natural de un sistema, sin fuerzas externas (resonancia).
Principio de incertidumbre de Heisenberg: Limita la precisión simultánea con que se pueden conocer dos magnitudes conjugadas: Δx·Δp ≥ h/(4π).
Longitud de onda de de Broglie: Longitud asociada a una partícula con momento p: λ = h/p.
Función trabajo: Energía mínima para arrancar un electrón del metal: Φ = hν₀.
Frecuencia umbral: Frecuencia mínima de luz capaz de arrancar electrones, ν₀ = Φ/h.
Potencial de frenado: Diferencia de potencial que detiene el electrón de mayor energía cinética: eV₀ = K máx.
Electrónvoltio (eV): Energía que gana un electrón al acelerarse entre dos puntos con 1 V de diferencia: 1 eV = 1,602×10⁻¹⁹ J.

Preguntas para practicar

¿Qué conceptos debo manejar para resolver el problema del electrón y la bala de cañón?

El principio de incertidumbre de Heisenberg (Δx·Δp ≥ h/4π), la relación momento-velocidad Δp = mΔv, la precisión relativa para obtener Δv = 0,075 m/s, y opcionalmente la longitud de onda de de Broglie (λ = h/p). El problema muestra que la incertidumbre es dominante solo en el dominio atómico.

¿Por qué a la luz roja y azul no les alcanza para arrancar electrones del molibdeno?

Porque su energía (1,77 y 2,76 eV respectivamente) es inferior a la función trabajo de 4,20 eV; solo la luz con energía mayor que Φ, es decir, ultravioleta con λ < 295 nm, produce efecto fotoeléctrico en el molibdeno.

¿Por qué la posición de una bala es determinable pero la de un electrón no?

Porque Δx depende de la masa: al ser la bala millones de veces más masiva que el electrón, su incertidumbre en el momento es enorme y Δx se vuelve del orden de 10⁻³¹ m, mucho menor que cualquier longitud de onda de luz; en cambio, el electrón exige Δx ≥ 0,63 mm, imposible de medir en la escala atómica.

Temas y conceptos clave

Oscilador armónico cuántico: cuanto de energíaPrincipio de incertidumbre de HeisenbergLongitud de onda de de BroglieEfecto fotoeléctrico: función trabajo, frecuencia umbral y potencial de frenadoEcuación de Planck ΔE = hνEnergía del oscilador E = ½kA² = ½mω²A²ω = 2πνPrincipio de incertidumbre Δx·Δp ≥ h/(4π)Δp = mΔvLongitud de onda de de Broglie λ = h/pFunción trabajo ΦFrecuencia umbral ν₀ = Φ/hEnergía del fotón E = hc/λPotencial de frenado eV₀ = hc/λ − Φ

Fuentes y referencias

Wikipedia: Principio de incertidumbre de Heisenberg
Wikipedia: Efecto fotoeléctrico
HyperPhysics: Energy of a photon (hc = 1240 eV·nm)

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el cuanto de energía de un oscilador armónico?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué dice el principio de incertidumbre de Heisenberg y cuándo es importante?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se determina el potencial de frenado en el efecto fotoeléctrico?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Constante de Planck h = 6,626×10⁻³⁴ J·s
• Energía de fotón E = hν = hc/λ
• Relación angular ω = 2πν y energía del oscilador E = ½kA²
• Función trabajo, frecuencia umbral y potencial de frenado
• Energía en eV y su conversión a julios

Siguiente tema sugerido

Estructura del átomo, niveles de energía y espectros de emisión/absorción (modelo de Bohr)

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 885 caracteres

Realizo los siguientes ejercicios:

UN ÁTOMO EN MOVIMIENTO

a) Si un átomo de masa 2,25x10 Kg oscila de manera lineal con una frecuencia propia de 5,15x10 Hz, determino:

i) ¿Cuál es el valor de un cuanto de energía del oscilador?

b) Si un electrón de masa m, = 11,22x 19°31 Kg y una bala de cañón de masa m, = 2g tienen una rapidez igual de 500 m/s con una precisión dentro del 0.0150%.

i) ¿Qué conceptos debo manejar para resolver el problema? Señalo y coloco las ecuaciones correspondientes

( >

ii) ¿En qué límites es posible determinar la posición de los objetos a lo largo de la dirección de la velocidad? ( >

c) El molibdeno tiene una función trabajo de 4,20 eV.

i) Indico a qué luz corresponde La frecuencia umbral del molibdeno. ?

X y iv) Determino, ¿cuál es el potencial de frenado si la luz incidente tiene una longitud de onda de 180 nm?

( y

Texto de Física (233

Páginas cercanas