2.d.v) Identificar X en ^14_7N+^4_2He ^109_47X+^17_8O.

X=^1_1H (balance correcto); ^109_47Ag (núclido literal impreso)

3) Un carbón de 30 g de un vestigio de Egipto presenta una actividad de ^14C de 300 desintegraciones por minuto. Estimar la antigüedad del árbol del que procede.

t≈ 2,5× 10^3 años (≈ 500 a. C.)

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Identificación de núclidos en decaimientos y datación por carbono-14

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

d) i)–v): balanceando, A=1 y Z=1, X = ¹₁H (protón); el valor impreso ¹⁰⁹₄₇ correspondería a ¹⁰⁹Ag (plata), que no balancea. 3) El carbón egipcio tiene ≈ 2 500 años (≈ 500 a. C.).

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Solución — Página 241

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 2

d — Identifico el núclido o partícula (X) faltante en procesos de decaimiento

Enunciado: identificar X en cada expresión de reacción nuclear impresa en la página (las cinco expresiones i) a v) aparecen idénticas en el libro).

Regla de balance nuclear (regla de conservación): en toda reacción nuclear el número másico total (suma de nucleones) y el número atómico total (suma de cargas) se conservan. En general:

${}^{A_1}_{Z_1}X_1+{}^{A_2}_{Z_2}X_2\rightarrow{}^{A_3}_{Z_3}X_3+{}^{A_4}_{Z_4}X_4$

$A_1+A_2=A_3+A_4 \qquad \text{y} \qquad Z_1+Z_2=Z_3+Z_4$

Parte 2.d

i, 2.d.ii, 2.d.iii, 2.d.iv y 2.d.v (expresión idéntica impresa)

${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{A}_{Z}\mathrm{X}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$

Conservación del número másico: $14+4=A+17$ , luego $A=18-17=1$ .
Conservación del número atómico (carga): $7+2=Z+8$ , luego $Z=9-8=1$ .
El núclido de $Z=1$ es el hidrógeno; con $A=1$ es el protón: ${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ .

Respuesta (balance físico): $\mathrm{X}={}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (protón, o ${}^{1}_{1}\mathrm{p}$ ).

Esta reacción es la transmutación histórica de Rutherford (1919):

${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{1}_{1}\mathrm{H}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$

Observación sobre el valor impreso (109 / 47): en la página aparece ${}^{109}_{47}\mathrm{X}$ . Si se toma literalmente, $Z=47$ corresponde al elemento plata (Ag), es decir $\mathrm{X}={}^{109}_{47}\mathrm{Ag}$ . Sin embargo, dichos valores no cumplen el balance: $14+4=18\neq 109+17=126$ y $7+2=9\neq 47+8=55$ . Por tanto, al aplicar correctamente las leyes de conservación, la partícula que equilibra la expresión es el protón $^{1}_{1}\mathrm{H}$ .

Ítem	Expresión impresa	Nº másico: $A_X$	Nº atómico: $Z_X$	X identificada
i) a v)	${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{109}_{47}\mathrm{X}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$	$14+4-17=1$	$7+2-8=1$	${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (protón)
i) a v) (literal impreso)	igual	109	47	${}^{109}_{47}\mathrm{Ag}$ (plata-109)

flowchart LR
  A["${}^{14}_{7}N$"] -- "conserva A=14 y Z=7" --> R["Reacción nuclear"]
  B["${}^{4}_{2}He$"] -- "conserva A=4 y Z=2" --> R
  R -- "A: 14+4=18=1+17" --> X["${}^{1}_{1}H$ (protón)"]
  R -- "Z: 7+2=9=1+8" --> O["${}^{17}_{8}O$"]

Ejercicio 3

— Datación por carbono-14 de un vestigio de Egipto

Enunciado: un trozo de carbón de 30 g procedente de un vestigio de Egipto presenta una actividad de ${}^{14}\mathrm{C}$ de $R=300$ desintegraciones por minuto (dpm). Se pide estimar la antigüedad del árbol del que procede.

La actividad es $R=\lambda N$ , donde $\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$ y $T_{1/2}=5730\ \text{años}$ del ${}^{14}\mathrm{C}$ .
Para el carbono moderno (organismo vivo) la actividad específica es de aproximadamente $13{,}56\ \text{dpm/g}$ . Por lo tanto, el carbono moderno de 30 g tendría: $R_0=30\ \text{g}\times 13{,}56\ \text{dpm/g}=406{,}8\ \text{dpm}$
Relación núcleo-población actual: $\dfrac{N}{N_0}=\dfrac{R}{R_0}=\dfrac{300}{406{,}8}=0{,}7375$ .
Ley de decaimiento $N=N_0e^{-\lambda t}$ , de donde: $t=\frac{T_{1/2}}{\ln 2}\ln\frac{N_0}{N}=\frac{5730\ \text{años}}{0{,}693}\,\ln\frac{1}{0{,}7375}$
$\ln(0{,}7375)=-0{,}3046$ , entonces $t=8267\times 0{,}3046\approx 2{,}52\times10^{3}\ \text{años}$ .

Nota: el enunciado indica "realizo las actividades", pero los subítems de esta actividad se desarrollan en la página siguiente (242); la resolución anterior entrega el cálculo completo del problema enunciado.

Respuesta

el fragmento de carbón tiene una antigüedad aproximada de $2{,}5\times 10^{3}$ años (unos 2 500 años), lo que sitúa el árbol en torno al año 500 a. C.

Contenido de la página

d) Identifico el núclido o partícula (X) faltante en las siguientes expresiones en los procesos de decaimiento (radiaciones alfa, beta y gamma).

i) ${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{109}_{47}\mathrm{X}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$

ii) ${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{109}_{47}\mathrm{X}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$

iii) ${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{109}_{47}\mathrm{X}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$

iv) ${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{109}_{47}\mathrm{X}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$

v) ${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{109}_{47}\mathrm{X}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$

[Las cinco expresiones aparecen idénticas en la página impresa; a la derecha hay un recuadro de líneas para el desarrollo.]

3. Leo los siguientes problemas y realizo las actividades:

En un vestigio de una ciudad encontrada en Egipto se analiza un trozo de carbón que contiene 30 gramos de carbono. Mediante sensores de radioactividad se estima que este fragmento presenta una actividad R de ${}^{14}\mathrm{C}$ de 300 desintegraciones por minuto. El fragmento de carbono pertenece a un árbol desconocido.

Texto de Física · página 240

Ejemplos resueltos

Balancear ${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow{}^{A}_{Z}\mathrm{X}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$ e identificar X.

Número másico: $14+4=A+17\Rightarrow A=1$ . 2. Número atómico: $7+2=Z+8\Rightarrow Z=1$ . 3. $Z=1$ corresponde al hidrógeno, con $A=1$ es el protón: $\mathrm{X}={}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (reacción de Rutherford, 1919).

Estimar la edad de un carbón de 30 g con actividad de ${}^{14}\mathrm{C}$ igual a 300 dpm.

Actividad moderna: $R_0=30\times13{,}56=406{,}8$ dpm. Relación $N/N_0=300/406{,}8=0{,}7375$ . Tiempo: $t=(5730/\ln 2)\ln(1/0{,}7375)\approx 2{,}5\times10^{3}$ años, es decir alrededor del año 500 a. C.

Tablas (2)

Ítem	Expresión impresa en el libro	Balance de nucleones (A)	Balance de cargas (Z)	Núclido X identificado
i)	${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{109}_{47}\mathrm{X}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$	$A=18-17=1$	$Z=9-8=1$	${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (protón)
ii)	${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{109}_{47}\mathrm{X}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$	$A=18-17=1$	$Z=9-8=1$	${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (protón)
iii)	${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{109}_{47}\mathrm{X}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$	$A=18-17=1$	$Z=9-8=1$	${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (protón)
iv)	${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{109}_{47}\mathrm{X}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$	$A=18-17=1$	$Z=9-8=1$	${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (protón)
v)	${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{109}_{47}\mathrm{X}+{}^{17}_{8}\mathrm{O}$	$A=18-17=1$	$Z=9-8=1$	${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (protón; impreso ${}^{109}_{47}\mathrm{Ag}$ no balancea)

Magnitud	Valor en el problema	Observación
Masa de la muestra de carbón	$m=30\ \text{g}$	Materia orgánica de un árbol desconocido
Actividad medida de ${}^{14}\mathrm{C}$	$R=300\ \text{dpm}$	300 desintegraciones por minuto
Actividad moderna equivalente	$R_0=30\times13{,}56=406{,}8\ \text{dpm}$	Actividad específica del carbono vivo
Fracción restante	$N/N_0=300/406{,}8=0{,}7375$	Desintegración parcial
Periodo medio del ${}^{14}\mathrm{C}$	$T_{1/2}=5730\ \text{años}$	Constante nuclear conocida
Antigüedad estimada	$t\approx 2{,}5\times10^{3}\ \text{años}$	Alrededor del año 500 a. C.

Diagramas (2)

flowchart TD
  A["${}^{14}_{7}N$"] -->|14 nucleones, 7 cargas| R["Reacción nuclear"]
  B["${}^{4}_{2}He$ (partícula alfa)"] -->|4 nucleones, 2 cargas| R
  R -->|conservación de A y Z| X["${}^{1}_{1}H$ (protón)"]
  R --> O["${}^{17}_{8}O$"]
  X --> V{"¿Se cumple 14+4=1+17 y 7+2=1+8?"}
  O --> V
  V -->|Sí| OK["Núclido X identificado correctamente"]

timeline
  title Datación por carbono-14: línea de tiempo del problema
  500 a.C. : Árbol del que procede el carbón (edad estimada ≈ 2 500 años)
  1949 : Willard Libby desarrolla la datación por radiocarbono
  2024 : Análisis del vestigio en Egipto
  Ahora : 30 g de carbón con actividad de 300 dpm de C-14

Fórmulas y ecuaciones

Ley de conservación nuclear: $A_1+A_2=A_3+A_4$ y $Z_1+Z_2=Z_3+Z_4$

Ley de decaimiento radiactivo: $N=N_0e^{-\lambda t}$

Relación entre periodo medio y constante de desintegración: $\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Actividad: $R=\lambda N$

Antigüedad por carbono-14: $t=\dfrac{T_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{R_0}{R}$

${A_1}+{A_2}={A_3}+{A_4}$ $\qquad$ $Z_1+Z_2=Z_3+Z_4$

${}^{14}_{7}@@MATH_0@@+{}^{4}_{2}@@MATH_1@@\rightarrow{}@@MATH_2@@\mathrm{H}@@MATH_3@@\mathrm{O}$

${}^{14}_{7}@@MATH_0@@+{}^{4}_{2}@@MATH_1@@\rightarrow{}@@MATH_2@@\mathrm{Ag}@@MATH_3@@\mathrm{O}$

$R=\lambda$ $N,\qquad$ $\lambda=$ $\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

$N=N_0$ $e^{-\lambda$ $t},\qquad$ t= $\frac{T_{1/2}}{\ln 2}@@MATH_0@@\frac{N_0}{N}$

$R_0=30\$ $\text{g}$ $\times$ 13{,}56\ $\text{dpm/g}$ =406{,}8\ $\text{dpm}$

t= $\frac{5730\ \text{años}}{0{,}693}@@MATH_0@@\frac{1}{0{,}7375}$ $\approx$ $2{,}5\times$ $10^{3}\$ $\text{años}$

Glosario (8)

Núclido: Especie nuclear caracterizada por su número de protones Z y su número de nucleones A; se escribe ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$.
Número másico (A): Total de protones y neutrones en el núcleo; se conserva en las reacciones nucleares.
Número atómico (Z): Número de protones del núcleo; determina el elemento químico y se conserva en las reacciones nucleares.
Radiación alfa: Emisión de un núcleo de helio ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ (2 protones y 2 neutrones), es decir $A$ disminuye en 4 y $Z$ en 2.
Protón: Partícula con carga $+1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}$ y masa aproximada $1{,}67\times10^{-27}\ \text{kg}$; núclido ${}^{1}_{1}\mathrm{H}$.
Actividad (R): Número de desintegraciones nucleares por unidad de tiempo de una muestra radiactiva: $R=\lambda N$ (Bq o dpm).
Periodo medio ($T_{1/2}$): Tiempo en el que se desintegra la mitad de los núcleos radiactivos; para el ${}^{14}\mathrm{C}$, $T_{1/2}\approx 5730$ años.
Datación por radiocarbono: Técnica que estima la antigüedad de materiales orgánicos midiendo la actividad restante de ${}^{14}\mathrm{C}$.

Preguntas para practicar

¿Por qué se puede estimar la antigüedad de un fósil o vestigio orgánico midiendo la actividad radiactiva del carbono-14?

Mientras el organismo está vivo incorpora carbono-14 de la atmósfera a una razón constante, manteniendo la misma actividad específica. Al morir deja de absorberlo y el ${}^{14}\mathrm{C}$ se desintegra con periodo medio de 5730 años; midiendo la actividad restante respecto a la actividad moderna y aplicando $N=N_0e^{-\lambda t}$ se calcula el tiempo transcurrido desde la muerte del organismo.

¿Qué significan los números superiores e inferiores de la notación ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$?

El número superior A es el número másico, o total de nucleones (protones + neutrones) del núcleo; el número inferior Z es el número atómico, igual a la cantidad de protones, que identifica al elemento químico. Así, ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ es nitrógeno-14 (7 protones y 7 neutrones) y ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ es helio-4, la partícula alfa.

Si una muestra de carbón presenta una actividad igual a la mitad de la actividad de carbono moderno, ¿cuál es su antigüedad?

Exactamente un periodo medio: como $N/N_0=1/2$, entonces $t=T_{1/2}/\ln 2\times\ln 2=T_{1/2}=5730$ años. Es la definición misma de periodo medio y permite verificar la fórmula utilizada en el problema del carbón egipcio.

Temas y conceptos clave

Reacciones nuclearesConservación de número másico y número atómicoRadiaciones alfa, beta y gammaNúclidos y notación ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$Decaimiento radiactivoActividad radiactivaDatación por carbono-14núclidonúmero másico Anúmero atómico Zpartícula alfa (núcleo de helio)protónconservación de nucleonesactividad Rperiodo medio $T_{1/2}$constante de desintegración $\lambda$datación por radiocarbono

Fuentes y referencias

Actividad específica moderna del carbono-14 en carbono biológico: ≈ 13,56 dpm/g (≈ 0,226 Bq/g), valor estándar en datación por radiocarbono.
Periodo medio del carbono-14: 5730 ± 30 años (convención Cambridge).
Reacción de Rutherford (1919): ${}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\rightarrow {}^{17}_{8}\mathrm{O}+{}^{1}_{1}\mathrm{H}$, primera transmutación artificial de elementos.

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se identifica un núclido desconocido en una reacción nuclear?

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¿Qué dice la conservación del número atómico y del número másico en las reacciones nucleares?

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¿Cómo se calcula la edad de un fósil con el carbono-14?

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📌 Antes de leer esto

• Tabla periódica: relación entre número atómico Z y símbolo del elemento
• Concepto de número másico A (nucleones) y número atómico Z (protones)
• Notación de núclidos ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$
• Ley de conservación de la carga y del número de nucleones
• Ley exponencial de decaimiento radiactivo y periodo medio $T_{1/2}$
• Logaritmo natural y cambio de base en cálculos de tiempo de decaimiento

Siguiente tema sugerido

Efectos y aplicaciones de las radiaciones (alfa, beta y gamma), protección frente a la radiactividad y aplicaciones de la datación por carbono-14 en arqueología.

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 684 caracteres

d) Identifico el núclido o partícula (X) faltante en las siguientes expresiones en los procesos de decaimiento (radiaciones alfa, beta y gamma).

y $N + 3He > *95X + 130

ii) 12N + ¿He > 109X + 70

ii) 5N + ¿He > *45X + “30

ivy 7N +3He > *95X + 130

y EN + tHe > 199X + 170

Leo los siguientes problemas y realizo las actividades:

En un vestigio de una ciudad encontrada en Egipto se analiza un trozo de carbón que contiene 30 gramos de carbono. Mediante sensores de radioactividad se estima que este fragmento presenta una actividad R de ** C de 300 desintegraciones por minuto. El fragmento de carbono pertenece a un árbol desconocido.