Volumen de y=x^2, x=0, x=2 rotando alrededor del eje X

Libro de Matemática 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Integrales, volúmenes de revolución y técnicas de integración

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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6a) $8+e^3$ ; 6c) $\sin^3 x/3+C$ ; 6d) $e^{2x}/2+C$ ; 7c) $32\pi/5$ ; 8a) $3x\sin x+3\cos x+C$ .

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Solución — Página 45

Matematica 3° · Bgu 3 Matematica 2024 · 2024

Ejercicio 6

a

$\int_0^3(2x+e^x)dx = [x^2+e^x]_0^3 = 9+e^3-0-1 = 8+e^3\approx 8+20.09=28.09$ .

Ejercicio 6

c

$\int \sin^2 x \cos x \, dx = \sin^3 x/3+C$ .

Ejercicio 6

d

$\int e^{2x} dx = e^{2x}/2+C$ .

Ejercicio 7

c

$V=\pi\int_0^2 (x^2)^2 dx = \pi\int_0^2 x^4 dx = \pi[x^5/5]_0^2 = 32\pi/5$ .

Ejercicio 8

a

$\int 3x\cos x\, dx$ : por partes, $u=3x, dv=\cos x\,dx$ : $du=3dx, v=\sin x$ . $\int 3x\cos x\,dx=3x\sin x-\int 3\sin x\,dx=3x\sin x+3\cos x+C$ .

Ejercicio 8

b

$\int \frac{x\cos x}{\sin^2 x}dx$ : por partes o sustitución. $u=x, dv=\cos x/\sin^2 x\,dx=-d(1/\sin x)$ , $du=dx, v=-1/\sin x$ . $=-x/\sin x+\int dx/\sin x = -x\csc x + \ln|\csc x-\cot x|+C$ .

Contenido de la página

Ejercicios 6-8

6. Integrales de 0 a 3

(a) $\int(2x+e^x)dx$

(b) $\int(\pi+1)\cos(2x)dx$

(d) $\int e^{2x}dx$

7. Volúmenes de sólidos de revolución

(a) Rotación alrededor de $y=-1$ de la región entre $y=x^2$ y $y=\sqrt{x}$

(b) Rotación alrededor del eje X de la región entre $y=x^2-2x$ y el eje X

8. Integrales

(a) $\int 3x\cos x\,dx$

(b) $\int \dfrac{x\cos x}{\sin^2 x}dx$

(d) $\int e^{ax}\sin(bx)dx$

METACOGNICIÓN

Fórmulas y ecuaciones

$\int_0^3(2x+e^x)dx$

$V=\pi\int$ $x^4$ dx

Glosario (2)

Sólido de revolución: Cuerpo obtenido al rotar una figura alrededor de un eje.
Integración por partes: $\int u\,dv = uv-\int v\,du$.

Preguntas para practicar

¿Qué he aprendido?

Temas y conceptos clave

Integrales definidasSólidos de revoluciónTécnicas de integraciónIntegral definidaSólido de revoluciónIntegración por partesSustitución

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📌 Antes de leer esto

• Integrales
• Trigonometría

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Calculo las siguientes integrales: desde X = O hasta x = 3 a) | (2x + eid

b) | (x + 1) (cos 2x) dx C) J sen2x cos x dx

A) | erxdx

Resuelvo los siguientes problemas: a) Hallo el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor de la recta y=—1 la región

comprendida entre las curvas y=x? y $y=\Xx$ .

b) Hallo el volumen del sólido generado por la rotación de la región comprendida entre la curva y=x? -2x y el eje x, alrededor del eje de las abscisas.

c) Encuentro el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por las curvas y=x? , x=0 y x=2.