Observa las dos gráficas. ¿Por qué la gráfica del perímetro es una línea recta y la del área es una curva?

P = 4s (recta), A = s^2 (parábola)

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Variación proporcional y variación no proporcional

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Perímetro: variación proporcional con k = 4 (P = 4s), gráfica lineal. Área: variación no proporcional, sin constante única (A = s²), gráfica curva.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 73

Nuestros saberes: Libro para alumnos, maestros y familia. Libro de Educación Primaria Grado 5° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contenido de la página (pág. 72)

Variación proporcional

Se refiere a que, al comparar dos magnitudes, ante el aumento o disminución del valor de una magnitud, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Además, debe existir un valor constante que permita calcular, para todos los valores de la primera magnitud, sus cantidades correspondientes en la segunda. En la tabla y gráfica, el número 4 es la constante que hay en la fórmula para calcular el perímetro de un cuadrado a partir de la medida de sus lados.

Tabla: lado del cuadrado y perímetro

Lado de un cuadrado (cm)	Perímetro (cm)
1	4
2	8
3	12
4	16
9	36

La constante de proporcionalidad es:

$k = \frac{P}{s} = 4$

Comprobación con cada fila (siempre se multiplica el lado por 4):

$s = 1$ : $P = 4 \times 1 = 4$
$s = 2$ : $P = 4 \times 2 = 8$
$s = 3$ : $P = 4 \times 3 = 12$
$s = 4$ : $P = 4 \times 4 = 16$
$s = 9$ : $P = 4 \times 9 = 36$

La fórmula que relaciona ambas magnitudes es $P = 4 \times s$ . La gráfica es una línea recta que pasa por el origen $(0, 0)$ , lo que confirma la variación proporcional.

Variación no proporcional

En este tipo de variación no existe una proporción y no puede calcularse una constante que sirva para relacionar los datos variables mediante una multiplicación. En la tabla y la gráfica, no existe un único valor constante que al multiplicarse por el lado de un cuadrado dé como resultado el área.

Tabla: lado del cuadrado y área

Lado de un cuadrado (cm)	Área (cm $^{2}$ )
1	1
2	4
3	9
4	16
9	81

Si buscáramos una constante $k$ tal que $A = k \times s$ , tendríamos valores distintos en cada fila:

$s = 1$ : $k = \frac{1}{1} = 1$
$s = 2$ : $k = \frac{4}{2} = 2$
$s = 3$ : $k = \frac{9}{3} = 3$
$s = 4$ : $k = \frac{16}{4} = 4$
$s = 9$ : $k = \frac{81}{9} = 9$

Como $k$ cambia en cada caso ( $1, 2, 3, 4, 9$ ), no hay constante de proporcionalidad. La relación correcta es $A = s \times s = s^{2}$ , que es una variación cuadrática, no proporcional. La gráfica es una curva (parábola) que no es una línea recta, por lo que el área y el lado no varían proporcionalmente.

Comparación clave: el perímetro sí varía proporcionalmente con el lado (constante $k = 4$ ), mientras que el área no varía proporcionalmente (relación $A = s^{2}$ , sin constante única).

Contenido de la página

EXPLOREMOS

Variación proporcional

Se refiere a que, al comparar dos magnitudes, ante el aumento o disminución del valor de una magnitud, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Además, debe existir un valor constante que permita calcular, para todos los valores de la primera magnitud, sus cantidades correspondientes en la segunda. En la tabla y gráfica de arriba, el número 4 es la constante que hay en la fórmula para calcular el perímetro de un cuadrado a partir de la medida de sus lados.

Tabla: Lado de un cuadrado (cm) y Perímetro (cm)

Lado de un cuadrado (cm)	Operación	Perímetro (cm)
1	× 4	4
2	× 4	8
3	× 4	12
4	× 4	16
9	× 4	36

Gráfica: "El perímetro y el lado de un cuadrado varían proporcionalmente" — línea recta que pasa por el origen. Eje X: Medida del lado (cm) de 0 a 10; eje Y: Perímetro (cm) de 0 a 90.

Variación no proporcional

En este tipo de variación no existe una proporción y no puede calcularse una constante que sirva para relacionar los datos variables mediante una multiplicación. En la tabla y la gráfica de arriba, no existe un único valor constante que al multiplicarse por el lado de un cuadrado dé como resultado el área.

Tabla: Lado de un cuadrado (cm) y Área (cm²)

Lado de un cuadrado (cm)	Operación	Área (cm²)
1	× 1	1
2		4
3	× 3	9
4		16
9	× 9	81

Gráfica: "El área y el lado de un cuadrado no varían proporcionalmente" — curva ascendente. Eje X: Lado del cuadrado (cm) de 0 a 10; eje Y: Área (cm²) de 0 a 90.

Ejemplos resueltos

Verificar si el perímetro de un cuadrado de lado 9 cm se calcula con la constante de proporcionalidad k = 4.

Identificar la constante: k = 4.
Aplicar la fórmula: P = 4 × 9.
Resultado: P = 36 cm, que coincide con la tabla.

Determinar si existe una constante que relacione el lado de un cuadrado con su área.

Calcular k = A/s para cada fila: 1/1 = 1; 4/2 = 2; 9/3 = 3; 16/4 = 4; 81/9 = 9.
Los valores de k son distintos.
No existe constante única; la relación es A = s², por lo que no es proporcional.

Tablas (2)

Lado de un cuadrado (cm)	Operación	Perímetro (cm)
1	× 4	4
2	× 4	8
3	× 4	12
4	× 4	16
9	× 4	36

Lado de un cuadrado (cm)	Operación	Área (cm²)
1	× 1	1
2		4
3	× 3	9
4		16
9	× 9	81

Fórmulas y ecuaciones

P = 4 $\times$ s

A = $s^{2}$

P = 4 $\times$ s

k = $\frac{P}{s}$ = 4

A = s $\times$ s = $s^{2}$

k = $\frac{A}{s}$ = s

Glosario (5)

Variación proporcional: Relación entre dos magnitudes en la que al aumentar o disminuir una, la otra lo hace en la misma proporción, existiendo una constante k tal que y = k·x.
Variación no proporcional: Relación entre dos magnitudes en la que no existe una constante única que, multiplicada por los valores de la primera, dé siempre los de la segunda.
Constante de proporcionalidad: Valor fijo k que relaciona las dos magnitudes en una variación proporcional; se obtiene dividiendo cualquier valor de la segunda entre su correspondiente de la primera.
Perímetro: Suma de las longitudes de todos los lados de una figura; en el cuadrado, P = 4 × lado.
Área: Medida de la superficie de una figura; en el cuadrado, A = lado × lado.

Preguntas para practicar

¿Cómo distinguirías si una tabla representa una variación proporcional o no proporcional?

Calculo el cociente entre los valores de la segunda columna y los de la primera en todas las filas. Si siempre da el mismo número (la constante k), la variación es proporcional; si el cociente cambia, no lo es.

Busca en tu casa tres ejemplos de variación proporcional y explica la constante en cada uno.

Ejemplos: precio de 1 kg de fruta (precio = k × kg), metros recorridos a velocidad constante (distancia = k × tiempo), número de decenas y valor posicional (valor = 10 × decenas). En todos, existe una constante k al multiplicar la primera magnitud.

Temas y conceptos clave

Variación proporcionalVariación no proporcionalConstante de proporcionalidadPerímetro y área del cuadradoVariación proporcionalVariación no proporcionalConstante de proporcionalidad (k)Tabla de valoresGráfica lineal vs. gráfica curvaPerímetro del cuadradoÁrea del cuadrado

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Figuras de la página (3)

Gráfica titulada 'El perímetro y el lado de un cuadrado varían proporcionalmente': eje X 'Medida del lado (cm)' de 0 a 10, eje Y 'Perímetro (cm)' de 0 a 90, con puntos que forman una línea recta que pasa por el origen. — Figura 1 image

Gráfica titulada 'El área y el lado de un cuadrado no varían proporcionalmente': eje X 'Lado del cuadrado (cm)' de 0 a 10, eje Y 'Área (cm²)' de 0 a 90, con puntos que forman una curva ascendente tipo parábola. — Figura 2 image

Barra decorativa vertical con iconos circulares de colores (glifos del libro). — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es la variación proporcional y cómo se identifica en una tabla?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el perímetro de un cuadrado varía proporcionalmente con su lado?

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¿Por qué el área de un cuadrado no es una variación proporcional?

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📌 Antes de leer esto

• Multiplicación y división básica
• Nociones de área y perímetro del cuadrado
• Lectura de tablas de valores
• Interpretación básica de gráficas con ejes cartesianos

Siguiente tema sugerido

Identificación de situaciones de variación proporcional en la vida cotidiana y obtención de la constante de proporcionalidad

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EXPLOREMOS

Variación proporcional

Se refiere a que, al comparar dos magnitudes, ante el aumento o disminución del valor de una magnitud, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción.Además, debe existir un valor constante que permita calcular, para todos los valores de la primera magnitud, sus cantidades correspondientes en la segunda. En la tabla y gráfica de arriba, el número 4 es la constante que hay en la fórmula para calcular el perímetro de un cuadrado a partir de la medida de sus lados.

Variación no proporcional

En este tipo de variación no existe una proporción y no puede calcularse una constante que sirva para relacionar los datos variables mediante una multiplicación. En la tabla y la gráfica de arriba, no existe un único valor constante que al multiplicarse por el lado de un cuadrado dé como resultado el área.

国 1

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