¿Qué es la variación no proporcional? Da un ejemplo.

Variación sin razón constante; ej.: temperatura semanal

Libro de Nuestros Saberes 5 grado

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Tablas de frecuencia, valor proporcional y regla de tres simple

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Constante $6.50 por lápiz; 4 lápices =$ 26.00. 2) 600 min en 10 h. 3) 10 porciones = 5 kg. 4) 120 km. 5) 270 km. 6) Variación arbitraria sin constante; ej.: temperatura semanal.

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Solución — Página 75

Nuestros saberes: Libro para alumnos, maestros y familia. Libro de Educación Primaria Grado 5° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Completar la tabla de número de lápices y costo, hallando la constante de proporcionalidad en cada caso.

Para 1 lápiz: costo = $6.50. Constante: \($ \frac{6.50}{1}$ = 6.50).
Para 2 lápices: costo = $13.00. Constante: \($ \frac{13.00}{2}$ = 6.50).
Para 3 lápices: costo = $19.50. Constante: \($ \frac{19.50}{3}$ = 6.50).
Para 4 lápices: costo = $26.00. Verificación: \(6.50$ \times$ 4 = 26).
La constante de proporcionalidad es siempre 6.50, que corresponde al costo unitario de un lápiz.

Respuesta

Constante de proporcionalidad = $6.50 por lápiz; 4 lápices cuestan \$ 26.00.

Ejercicio 2

Completar la tabla de horas y minutos (1 h = 60 min).

1 hora → 60 minutos.
2 horas → 120 minutos.
3 horas → 180 minutos.
4 horas → (180 + 60 = 240) minutos.
10 horas → (10 $\times$ 60 = 600) minutos.

Respuesta

Los minutos faltantes son 60, 120, 180, 240 y 600.

Ejercicio 3

Completar la tabla de porciones y azúcar en kilogramos (1 porción → ( $\frac{1}{2}$ ) kg).

1 porción → ( $\frac{1}{2}$ ) kg.
2 porciones → ( $\frac{2}{2}$ = 1) kg.
3 porciones → ( $\frac{3}{2}$ = 1 $\frac{1}{2}$ ) kg.
4 porciones → ( $\frac{4}{2}$ = 2) kg.
10 porciones → ( $\frac{10}{2}$ = 5) kg. La constante es ( $\frac{1}{2}$ ) kg por porción.

Respuesta

10 porciones corresponden a 5 kg de azúcar.

Ejercicio 4

Calcular los kilómetros recorridos en bicicleta en 4 semanas, sabiendo que en 1 semana se recorren 30 km.

Planteamos la proporción: ( $\frac{1}{30}$ = $\frac{4}{x}$ ).
Multiplicamos en cruz: (1 $\times$ x = 4 $\times$ 30).
(x = 120).

Respuesta

120 km en 4 semanas.

Ejercicio 5

Calcular los kilómetros recorridos en 9 semanas con la regla de tres simple.

Se conoce: 2 semanas → 60 km. Planteamos ( $\frac{2}{60}$ = $\frac{9}{x}$ ).
Aplicamos la regla de tres simple: (x = $\frac{9 \times 60}{2}$ ).
(9 $\times$ 60 = 540); luego ( $\frac{540}{2}$ = 270).

Respuesta

270 km en 9 semanas.

Ejercicio 6

Explicar qué es la variación no proporcional y dar un ejemplo.

En la variación no proporcional no existe una constante de proporcionalidad fija.
Los incrementos son arbitrarios y no responden a una razón constante.
Ejemplo: la temperatura durante una semana, que sube y baja según factores diversos (nublado, soleado, noche/día).

Respuesta orientativa: Es cuando las cantidades varían de manera arbitraria, sin razón constante; un ejemplo es la temperatura de una semana.

Ejercicio 7

¿Qué relación encuentras entre la constante de proporcionalidad y el costo unitario de un lápiz?

Respuesta orientativa: La constante de proporcionalidad es justamente el costo de un solo lápiz: al dividir el costo total entre el número de lápices se obtiene $6.50, el precio unitario.

Contenido de la página

PROFUNDICEMOS

Tablas de frecuencia

Las tablas de frecuencia sirven para agrupar en categorías los datos estadísticos obtenidos mediante recolección. A cada categoría se le determina una frecuencia que se obtiene del conteo de las veces que se repite un número o dato.

Valor proporcional

La proporcionalidad es una razón entre dos cantidades expresada como un cociente; a la cantidad encontrada se le llama constante de proporcionalidad. Este tipo de variación responde a una función lineal y se observa su crecimiento lineal en una gráfica en el plano cartesiano.

Si bien los estudiantes identificarán que al pagar más lápices el costo aumenta, en principio sumarán el precio de cada lápiz que se compre; condúzcalos para que desarrollen el concepto de proporcionalidad calculando el costo de los lápices a partir de multiplicar el número de lápices por la constante de proporcionalidad. Guíelos a concluir que la constante de proporcionalidad corresponde al costo unitario de un lápiz.

Tabla: número de lápices y costo

Número de lápices	Costo de lápices	Constante de proporcionalidad
0	$0	—
1	$6.50 \|$ 6.50 / 1 = 6.50
2	$13.00 \|$ 13 / 2 = 6.50
3	$19.50 \|$ 19.50 / 3 = 6.50
4	$26.00	6.50 × 4 = 26

En las siguientes tablas, se observa el aumento por unidad. Se espera que los estudiantes calculen cantidades que van en aumento; para ello pídales que, en vez de sumar varias veces, multipliquen los valores de la primera columna por el valor unitario; es decir, la constante de proporcionalidad.

Horas	Minutos	Porciones	Azúcar en kilogramos	Número de lápices	Costo de lápices
1	60	1	1/2	0	$0
2	120	2	1	1	$6.50
3	180	3	1 1/2	2	$13.00
4	180 + 60	4	2	3	$19.50
10	¿?	10	¿?	4	¿?

Para avanzar en la resolución de problemas de proporcionalidad, además de identificar este tipo de variaciones, es importante utilizar la regla de tres simple.

Tabla: semanas y kilómetros en bicicleta

Semanas	Kilómetros recorridos en bicicleta
1	30
2	60
3	90
4	120
9	270

Para calcular los kilómetros recorridos en 4 semanas: $$\frac{1}{30}$ = $\frac{4}{x}$$ , basta con multiplicar (4 $\times$ 30 = 120).

Para calcular los kilómetros recorridos en 9 semanas: $$\frac{2}{60}$ = $\frac{9}{x}$$ , se usa la regla de tres simple: $\(\frac{9$ $\times$ 60}{2} = 270).

Variación no proporcional

Cuando las variaciones se rigen por un crecimiento arbitrario, no hay una constante de proporcionalidad, por lo tanto, no se trata de una razón. Un ejemplo es la temperatura en una semana, que se rige por factores que no responden a una constante.

Se muestra una actividad para trabajar la proporcionalidad con el uso de tablas en Ortiz Hernán, Schulmaister Lago, Mónica y Hugo Balbuena (2001). "30. El juego de las preguntas", en Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Quinto grado, México, Secretaría de Educación Pública.

Disponible en https://bit.ly/3Ftc0c0

Ejemplos resueltos

¿Cuántos kilómetros se recorren en 4 semanas si en 1 semana se recorren 30 km?

Planteamos $\frac{1}{30}=\frac{4}{x}$ . Multiplicamos: $x=4\times30=120$ km.

¿Cuántos kilómetros en 9 semanas conociendo que 2 semanas = 60 km?

$\frac{2}{60}=\frac{9}{x}$ , regla de tres: $x=\frac{9\times60}{2}=270$ km.

Tablas (2)

Número de lápices	Costo	Constante
1	$6.50	6.50
2	$13.00	6.50
3	$19.50	6.50
4	$26.00	6.50

Semanas	Kilómetros
1	30
2	60
3	90
4	120
9	270

Diagrama

graph LR
  A[Dato recopilado] --> B[Agrupar en categorías]
  B --> C[Contar repeticiones]
  C --> D[Frecuencia]
  D --> E[Tabla de frecuencia]

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Constante de proporcionalidad}$ = $\frac{\text{valor dependiente}}{\text{valor independiente}}$

x = $\frac{b \times c}{a}$ $\text{ (regla de tres simple)}$

$\frac{6.50}{1}$ =6.50

$\frac{13.00}{2}$ =6.50

$\frac{19.50}{3}$ =6.50

6.50 $\times$ 4 = 26

$\frac{1}{30}$ = $\frac{4}{x}$ $\Rightarrow$ x=4 $\times$ 30=120

$\frac{2}{60}$ = $\frac{9}{x}$ $\Rightarrow$ x= $\frac{9 \times 60}{2}$ =270

Glosario (5)

Tabla de frecuencia: Tabla que agrupa datos en categorías y cuenta cuántas veces se repite cada una.
Valor proporcional: Relación entre dos cantidades expresada como razón o cociente constante.
Constante de proporcionalidad: Valor fijo al que tiende el cociente entre las dos cantidades; aquí es el costo unitario del lápiz ($6.50).
Regla de tres simple: Método para resolver proporciones con dos pares de valores relacionados.
Variación no proporcional: Cambio arbitrario sin constante de proporcionalidad, como la temperatura semanal.

Preguntas para practicar

¿Qué relación encuentras entre la constante de proporcionalidad y el costo unitario de un lápiz?

La constante de proporcionalidad es exactamente el costo de un solo lápiz ($6.50); al dividir el costo total entre el número de lápices siempre se obtiene ese valor.

¿Por qué la temperatura de una semana no es una variación proporcional?

Porque su cambio es arbitrario: no existe un valor fijo que al dividirlo siempre dé el mismo cociente; sube y baja según factores como el clima.

Temas y conceptos clave

Tablas de frecuenciaValor proporcionalConstante de proporcionalidadRegla de tres simpleVariación no proporcionalconstante de proporcionalidadrazóncocientefunción linealregla de tres simplevariación no proporcional

Fuentes y referencias

https://bit.ly/3Ftc0c0

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¿Qué diferencia hay entre variación proporcional y no proporcional?

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📌 Antes de leer esto

• Multiplicar y dividir números enteros y decimales
• Comprender el concepto de razón y cociente
• Conocer la tabla de multiplicar del 60 (minutos por hora)

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Representación gráfica de la proporcionalidad en el plano cartesiano (recta que pasa por el origen)

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PROFUNDICEMOS

Tablas de frecuencia

Las tablas de frecuencia sirven para agrupar en categorias los datos estadisticos obtenidos mediante recolección. A cada categoria se le determina una frecuencia que se obtiene del conteo de las veces que se repite un número o dato.

Valor proporcional

La proporcionalidad es una razón entre dos cantidades expresada como un cociente; a la cantidad encontrada se le llama constante de proporcionalidad. Este tipo de variación responde a una función lineal y se observa su crecimiento lineal en una gráfi ca en el plano cartesiano.

Si bien los estudiantes identificarán que al pagar más lápices el costo aumenta, en principio sumarán el precio de cada lápiz que se compre;condúzcalos para que desarrollen el concepto de proporcionalidad calculando el costo de los lápices a partir de multiplicar el número de lápices por la constante de proporcionalidad. Guielos a concluir que la constante de proporcionalidad corresponde al costo unitario de un lápiz.

En las siguientes tablas, se observa el aumento por unidad. Se espera que los estudiantes calculen cantidades que van en aumento;para ello pídales que, en vez de sumar varias veces, multipliquen los valores de la primera columna por el valor unitario; es decir, la constante de proporcionalidad.

Para avanzar en la resolución de problemas de proporcionalidad, además de identifi car este tipo de variaciones, es importante utilizar la regla de tres simple.

$\frac{1}{30}=\frac{4}{\frac{3}{20}},\quad\arctan\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

Para calcular los kilómetros recorridos en 9 semanas,

$\frac{2}{60}=\frac{9}{2},\quad\text{s e u s a l a r e g l a d e t r e s}\quad\text{s i m p l e}:\quad\frac{9\times60}{2}=270$

Variación no proporcional

Se muestra una actividad para trabajar la proporcionalidad con el uso de tablas en Ortiz Hernán, Schulmaister Lago, Mónica y Hugo Balbuena (2001). "30. El juego de las preguntas", en Fichero.Actividades didácticas. Matemáticas. Quinto grado,México, Secretaria de Educación Pública.

Disponible en https://bit.ly/3Ftc0c0

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	Número de lápices	Costo de lápices	Constante de proporcionalidad
	□	□
Aumenta1 lápiz	1	$6.50</td><td>$ $\frac{6.50}{1}$ =6.50 $</td></tr><tr><td>AumentaI lápiz</td><td>2</td><td>$ 13.00	13 =6.50 2
Aumental lápiz	3	$19.50</td><td>19.50 -=6.50 3</td></tr><tr><td>Aumenta1 lápiz</td><td>4</td><td>$ 26.00	6.50×4=26

Horas	Minutos	Porcianes	Aaucar en kilogramos	Nimero de lápices	Costo delipices
1	B	1		0	□
2	120	2			$6.50</td></tr><tr><td>3</td><td>180</td><td>3</td><td></td><td>A</td><td>$ 13.00
4	180+60	4		3	$19.50
10	2?	10		1	i?