Retos: cociente de áreas, balanzas y conteo de triángulos

Enunciado: los cinco círculos de la figura tienen el mismo radio y el del centro toca a los demás en un punto. Se trazó un cuadrado cuyos vértices son los cuatro centros de los círculos exteriores. ¿Cuál es el cociente \frac{\text{área rosa}}{\text{área verde}}?

1. Llamo r al radio de cada círculo. Como el círculo central toca a los exteriores en un punto, la distancia de su centro a cada centro exterior es r + r = 2r. Los centros de los círculos exteriores están justo en los vértices del cuadrado, y el centro del cuadrado coincide con el centro del círculo central.
2. El cuadrado tiene de lado s = r\sqrt{2} + r\sqrt{2} = 2r\sqrt{2} (la diagonal desde un vértice al centro mide 2r). Su área es s^{2} = \left(2r\sqrt{2}\right)^{2} = 8r^{2}.
3. Área rosa: el círculo central está completo dentro del cuadrado (\pi r^{2}) y de cada círculo exterior queda dentro un cuarto (la esquina en su vértice): 4 \times \frac{\pi r^{2}}{4} = \pi r^{2}. Total rosa: 2\pi r^{2}.
4. Área verde: de cada círculo exterior queda fuera del cuadrado tres cuartos: 4 \times \frac{3\pi r^{2}}{4} = 3\pi r^{2}.
5. Cociente: \frac{2\pi r^{2}}{3\pi r^{2}} = \frac{2}{3}.

Enunciado: observa las primeras dos balanzas y, en la tercera, colorea cada costal con el color que corresponda para que los costales del platillo izquierdo pesen menos que los del platillo derecho.

1. Balanza 1: a la izquierda hay un costal rosa y uno azul; a la derecha, uno verde y uno azul. El platillo derecho baja, así que \text{verde} + \text{azul} > \text{rosa} + \text{azul}. Quitando el costal azul de ambos lados: \text{verde} > \text{rosa}.
2. Balanza 2: a la izquierda hay un costal azul y uno amarillo; a la derecha, uno amarillo y uno café. El platillo derecho baja: \text{amarillo} + \text{café} > \text{azul} + \text{amarillo}. Quitando el amarillo de ambos lados: \text{café} > \text{azul}.
3. Balanza 3: cada platillo tiene dos costales blancos por colorear. Como el verde pesa más que el rosa y el café pesa más que el azul, pongo en el platillo izquierdo los dos más ligeros y en el derecho los dos más pesados.

Enunciado: ¿cuántos triángulos hay en la figura?

1. La figura es un triángulo grande con dos rectas que van del vértice superior a la base (formando 3 columnas) y dos rectas horizontales (formando 3 franjas).
2. Todo triángulo de la figura tiene su vértice en el punto superior, porque las rectas inclinadas solo se cortan ahí y las horizontales son paralelas entre sí.
3. Las rectas que salen del vértice superior son 4: los dos lados y las 2 rectas internas. Para formar un triángulo elijo 2 de ellas: \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 parejas.
4. Cada triángulo necesita una base horizontal; hay 3 rectas horizontales (2 internas y la base), y cada pareja de rectas forma un triángulo sobre cada una: 6 \times 3 = 18.