Tapete de Sierpinski y esponja de Menger: fractales autosemejantes

Explica con tus palabras qué significa que un fractal sea autosemejante, usando el ejemplo del tapete de Sierpinski.

1. Un objeto es autosemejante cuando una parte de él reproduce la estructura del todo, aunque sea a menor escala.
2. En el tapete de Sierpinski, si se observa un cuadrado pequeño de la esquina, su patrón de agujeros repite el diseño completo del tapete.
3. Kasia lo ilustra con las manchas: al manchar una zona, el dueño obsesivo debía repetir la mancha en cada copia para conservar la autosemejanza.

¿Por qué se dice que en la curva universal de Sierpinski "caben" todos los continuos?

1. Un continuo es un conjunto conexo y compacto; la curva universal es un espacio topológico que contiene una copia homeomorfa de cualquier continuo.
2. El tapete de Sierpinski, construido quitando cuadrados centrales de forma iterada, conserva esa propiedad universal.
3. Por eso se le llama "universal": cualquier continuo puede representarse dentro de ella.

Describe el proceso de construcción de la esponja de Menger a partir de un cubo.

1. Se parte de un cubo sólido y se divide en 27 cubos iguales (3×3×3).
2. Se eliminan el cubo central y los seis cubos centrales de cada cara, quedando 20 cubos.
3. Se repite el proceso en cada uno de los 20 cubos restantes, y así sucesivamente.

¿Qué relación encuentras entre el tapete de Sierpinski y la esponja de Menger?

1. Ambos son fractales autosemejantes construidos por eliminación iterativa.
2. El tapete es la versión bidimensional (cuadrado) y la esponja la versión tridimensional (cubo).
3. Ambos aparecen mencionados en la carta como objetos matemáticos ligados a Varsovia.