Ejercicio 1
En el pizarrón están escritos los números del 1 al 10. Cada paso consiste en borrar dos números a y b y escribir en su lugar a+b-1. Se repite hasta que queda un único número. ¿Qué número es? ¿Mariana tiene razón al afirmar que el último número siempre será el mismo?
Parte 1.a
¿Qué número queda al final?
- Observamos que la operación a+b-1 reduce la cantidad de números en 1 en cada paso. Partiendo de 10 números, se necesitan 9 pasos para llegar a uno solo.
- Buscamos una cantidad que no cambie con la operación. Probamos la suma de todos los números menos la cantidad de números: S - n.
- Al reemplazar a y b por a+b-1, la nueva suma es S' = S - a - b + (a+b-1) = S - 1.
- La nueva cantidad de números es n' = n - 1.
- Entonces S' - n' = (S-1) - (n-1) = S - n. ¡Es invariante!
- Al inicio: S = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 y n = 10, así que S - n = 55 - 10 = 45.
- Al final queda un solo número x con n=1, por lo que x - 1 = 45, es decir x = 46.
Respuesta
el último número es 46.
Parte 1.b
¿Tiene razón Mariana?
- El valor S - n se conserva en cada paso, sin importar qué par de números se elija.
- Como el valor inicial S - n = 45 es fijo y al final n = 1, el número final siempre cumple x - 1 = 45.
- Por lo tanto x = 46 sin importar el orden ni los pares elegidos.
Verificación
Ejemplo con un orden distinto: tomamos 1 y 2 → 1+2-1=2. Quedan 2,3,4,5,6,7,8,9,10 (suma 54, n=9, S-n=45). Tomamos 9 y 10 → 18. Quedan 2,3,4,5,6,7,8,18 (suma 53, n=8, S-n=45). El invariante se mantiene y el final será 46.
Respuesta
Sí, Mariana tiene razón: el último número siempre es 46.
