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Notación de teselaciones y planos de figuras

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Respuesta rápida

La notación $(n_1^{a_1}, \dots)$ describe los polígonos regulares que concurren en cada vértice de una teselación. Los ejemplos muestran 11 teselaciones distintas.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 125

Colección Sk´asolil. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Análisis de la página

La página presenta un diálogo narrativo entre un personaje y el "Demonio" donde se discute la notación matemática para describir teselaciones (recubrimientos del plano con polígonos regulares).

Notación de teselaciones

La notación $(n_1^{a_1}, n_2^{a_2}, \dots)$ indica que en cada vértice de la teselación concurren polígonos regulares de $n_i$ lados, cada uno repetido $a_i$ veces alrededor del vértice.

Ejemplos mostrados en la página

$(3^6)$ : seis triángulos equiláteros en cada vértice. Suma de ángulos: $6 \times 60^\circ = 360^\circ$ .
$(4^4)$ : cuatro cuadrados en cada vértice. Suma: $4 \times 90^\circ = 360^\circ$ .
$(6^3)$ : tres hexágonos en cada vértice. Suma: $3 \times 120^\circ = 360^\circ$ .
$(3^4, 6)$ : cuatro triángulos y un hexágono. Suma: $4 \times 60^\circ + 120^\circ = 360^\circ$ .
$(3^3, 4^2)$ : tres triángulos y dos cuadrados. Suma: $3 \times 60^\circ + 2 \times 90^\circ = 360^\circ$ .
$(3^2, 4, 3, 4)$ : dos triángulos, un cuadrado, un triángulo, un cuadrado. Suma: $2 \times 60^\circ + 90^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 360^\circ$ .
$(3, 4, 6, 4)$ : triángulo, cuadrado, hexágono, cuadrado. Suma: $60^\circ + 90^\circ + 120^\circ + 90^\circ = 360^\circ$ .
$(3, 6, 3, 6)$ : triángulo, hexágono, triángulo, hexágono. Suma: $60^\circ + 120^\circ + 60^\circ + 120^\circ = 360^\circ$ .
$(3, 12^2)$ : triángulo y dos dodecágonos. Suma: $60^\circ + 2 \times 150^\circ = 360^\circ$ .
$(4, 6, 12)$ : cuadrado, hexágono y dodecágono. Suma: $90^\circ + 120^\circ + 150^\circ = 360^\circ$ .
$(4, 8^2)$ : cuadrado y dos octágonos. Suma: $90^\circ + 2 \times 135^\circ = 360^\circ$ .

Respuesta: La página enseña a interpretar la notación de teselaciones y relacionarla con los planos de figuras geométricas que recubren el plano sin dejar huecos ni superposiciones.

Contenido de la página

Tal como indicaba la carta, la mañana siguiente me presenté en el majestuoso palacio con mi Catálogo de planos. La verdad es que no entendía para qué necesitaría un teselador para su plan, pero preferí esperar (no estaba seguro de que el Demonio estuviera al tanto de aquello de "diseñador").

Fuimos directo a los negocios:

—Me gustaría ver su catálogo.

—Sí, claro, aquí lo tiene:

$(3^6)$ ; $(4^4)$ ; $(6^3)$ ; $(3^4, 6)$ ; $(3^3, 4^2)$ ; $(3^2, 4, 3, 4)$ ; $(3, 4, 6, 4)$ ; $(3, 6, 3, 6)$ ; $(3, 12^2)$ ; $(4, 6, 12)$ ; $(4, 8^2)$ ...

El Demonio se me quedó viendo con cara de "¿Y bien?"

—¿Algún problema?

—Sí, me parece que usted no entiende. Le pedí planos con figuras, no paréntesis con números.

—No, no, no; esos números son tan sólo notación; pensé que ya la conocería.

—El hecho de ser el Demonio electo de las matemáticas no implica que sepa todo. Yo me dedico a la teoría del caos en funciones contractoras, así que preferiría ver los planos, no la notación.

—De acuerdo, aquí están los diseños:

[Imágenes de teselaciones con sus respectivas notaciones: $(3^6)$ , $(4^4)$ , $(6^3)$ , $(3^4, 6)$ , $(3^3, 4^2)$ , $(3^2, 4, 3, 4)$ , $(3, 4, 6, 4)$ , $(3, 6, 3, 6)$ , $(3, 12^2)$ , $(4, 6, 12)$ , $(4, 8^2)$ ]

Ejemplos resueltos

Verificar que la teselación $(3^6)$ es válida.

Cada triángulo equilátero tiene ángulo interior de $60^\circ$ . Con 6 triángulos: $6 \times 60^\circ = 360^\circ$ . Por lo tanto, es válida.

Verificar que la teselación $(4, 8^2)$ es válida.

Cuadrado: $90^\circ$ , octágono: $135^\circ$ . Suma: $90^\circ + 2 \times 135^\circ = 360^\circ$ . Es válida.

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Suma de ángulos en un vértice}$ = $360^\circ$

$(3^6)$

$(4^4)$

$(6^3)$

$(3^4$ , 6)

$(3^3$ , $4^2)$

$(3^2$ , 4, 3, 4)

(3, 4, 6, 4)

(3, 6, 3, 6)

(3, $12^2)$

(4, 6, 12)

(4, $8^2)$

Glosario (3)

Teselación: Recubrimiento completo del plano mediante figuras geométricas que no se superponen ni dejan huecos.
Notación de teselaciones: Forma abreviada de describir los polígonos que concurren en cada vértice, usando números entre paréntesis con exponentes.
Polígono regular: Figura plana con todos sus lados y ángulos iguales.

Preguntas para practicar

¿Por qué el personaje dice que no entiende la notación si es el Demonio de las matemáticas?

Porque su especialidad es la teoría del caos en funciones contractoras, no la geometría de teselaciones. Esto muestra que la especialización no implica conocimiento universal.

¿Qué relación existe entre los números de la notación y los ángulos de los polígonos?

Los números indican la cantidad de lados del polígono regular, y su ángulo interior se calcula como $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. La suma de los ángulos de todos los polígonos que concurren en un vértice debe ser $360^\circ$.

Temas y conceptos clave

TeselacionesNotación matemáticaPolígonos regularesTeselaciónNotación de teselacionesVérticePolígono regularÁngulo interior

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Figuras de la página (1)

Teselación $(3^6)$ formada por triángulos equiláteros en colores verde, amarillo y azul. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué significa la notación $(3^6)$ en teselaciones?

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¿Cuántos tipos de teselaciones regulares existen?

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¿Cómo se calcula la suma de ángulos en un vértice de una teselación?

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📌 Antes de leer esto

• Ángulos interiores de polígonos regulares
• Suma de ángulos alrededor de un punto (360°)

Siguiente tema sugerido

Construcción de teselaciones con polígonos regulares

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 988 caracteres

Tal como indicaba la carta, la mañana siguiente me presentéen el majestuoso palacio con mi Catálogo de planos. La verdad es que no entendia para quénecesitaria un teselador para su plan, pero preferí esperar (no estaba seguro de que el Demonio estuviera al tanto de aquello de "disenador").

Fuimos directo a los negocios:—Me gustaría ver su catálogo.—Sí, claro, aquí lo tiene:

(3); (44);(63); (34,6);(3³,42);(32,4，3,4);(3,4,6,4);(3,6,3,6)；(3,122); (4,6,12); (4,82)..

El Demonio se me quedóviendo con cara de"Y bien?"

—Algún problema?

—Sí, me parece que usted no entiende. Le pedí planos con figuras, no paréntesis con números.

—No, no, no; esos números son tan sólo notación; pensé que ya la conocería.

—El hecho de ser el Demonio electo de las matemáticas no implica que sepa todo. Yo me dedico a la teoría del caos en funciones contractoras, así que preferiría ver los planos, no la notación.

—De acuerdo, aquí están los disenos:

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