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Teselaciones y notación de vértices en el plano

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Respuesta rápida

La notación $(3^6)$ indica 6 triángulos por vértice; $(3^2,4,3,4)$ indica 2 triángulos, 1 cuadrado, 1 triángulo y 1 cuadrado, sumando $360^\circ$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 126

Colección Sk´asolil. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Análisis del contenido

La página presenta un diálogo entre dos personajes que discuten sobre teselaciones (recubrimientos del plano con figuras sin dejar huecos ni superponerse) y la notación de configuración de vértices.

Notación de vértices

La notación $(a_1^{n_1}, a_2^{n_2}, \dots)$ indica, alrededor de cada vértice, el número de lados de cada polígono y cuántas veces aparece. Por ejemplo:

$(3^6)$ : en cada vértice concurren 6 triángulos equiláteros. Verificación: $6 \times 60^\circ = 360^\circ$ .
$(3^2,4,3,4)$ : en cada vértice hay 2 triángulos, 1 cuadrado, 1 triángulo y 1 cuadrado. Verificación: $60^\circ + 60^\circ + 90^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 360^\circ$ .

Condiciones de una teselación

Las figuras no se superponen.
No quedan huecos entre ellas.
En cada vértice la suma de los ángulos interiores es exactamente $360^\circ$ .
Todos los vértices tienen la misma configuración (teselación uniforme o semirregular).

Sobre los "planos infinitos"

El diálogo aclara que las muestras dibujadas son fragmentos finitos, pero como todos los vértices son iguales, el patrón puede repetirse indefinidamente trasladando la muestra y "pegándola" consigo misma. Esto es posible porque la teselación es periódica.

Teselar vs. decorar

El texto cierra con una distinción: teselar es cubrir el plano con figuras geométricas regulares; decorar implica usar formas libres (como las curvas azules de la imagen) que también cubren el plano pero sin seguir una notación de polígonos regulares.

Respuesta orientativa: La notación de vértices permite clasificar teselaciones según los polígonos que concurren en cada vértice, siempre que la suma de sus ángulos sea $360^\circ$ .

Contenido de la página

—¿Qué es esto?

—Son los diseños. Por ejemplo $(3^6)$ quiere decir que en cada vértice hay 6 triángulos; o, en otro ejemplo más complicado, $(3^2,4,3,4)$ , quiere decir que en cada vértice hay 2 triángulos, 1 cuadrado, 1 triángulo y 1 cuadrado, como se ve en el diseño marcado por $(3^2,4,3,4)$ . Es decir, la notación indica cómo se acomodan las figuras alrededor de cada vértice para sumar $360^\circ$ y que no se amontonen alrededor de ningún vértice, pues, además, todos los vértices son iguales y...

—Sí, sí, eso ya lo vi, pero le dije "planos", y quería decir "planos infinitos", grandotes, interminables, etcétera, no estos rectangulitos.

—No se enoje y déjeme explicarle: éstas sólo son muestras, pues cargar con los planos completos es muy incómodo y muy poco discreto. Pero no se preocupe, con esos dibujos se pueden llenar los planos infinitos, pues todos los vértices son iguales y, por lo tanto, los dibujos se pueden ir "pegando" uno a otro infinitamente; confíe en mí. ¿Qué le parecen?

—Bueno, ya sabe, aquí todos conocemos los chismes y rumores de los demás y justo por eso lo llamé a usted, porque dicen por ahí que más que teselar los planos, su trabajo es decorarlos, ¿es eso cierto?

—Sí, así es, sólo que no sabía que eso es lo que quería. Aquí tengo algunas muestras:

[Imagen: dos diseños, uno con curvas azules y otro con líneas rojas radiales]

Ejemplos resueltos

Verificar que la notación $(3^6)$ corresponde a una teselación válida.

Cada triángulo equilátero tiene ángulo interior de $60^\circ$ . Si concurren 6 triángulos: $6 \times 60^\circ = 360^\circ$ . Por lo tanto, la configuración es válida.

Verificar que la notación $(3^2,4,3,4)$ corresponde a una teselación válida.

Ángulos: triángulo $60^\circ$ , cuadrado $90^\circ$ . Suma: $60^\circ + 60^\circ + 90^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 360^\circ$ . La configuración es válida.

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Suma de ángulos en un vértice}$ = $360^\circ$

$(3^6)$

$(3^2,4,3,4)$

6 $\times$ $60^\circ$ = $360^\circ$

$60^\circ$ + $60^\circ$ + $90^\circ$ + $60^\circ$ + $90^\circ$ = $360^\circ$

Glosario (4)

Teselación: Recubrimiento completo del plano con figuras geométricas sin dejar huecos ni superponerse.
Notación de vértices: Forma de escribir la configuración de polígonos que concurren en un vértice, usando exponentes para indicar repeticiones.
Plano infinito: Superficie plana que se extiende indefinidamente en todas direcciones.
Vértice: Punto donde se encuentran dos o más lados de un polígono o donde concurren varias figuras.

Preguntas para practicar

¿Qué significa la notación $(3^6)$?

Indica que en cada vértice del teselado concurren 6 triángulos equiláteros, cuyos ángulos interiores suman $360^\circ$.

¿Por qué se dice que los dibujos pueden llenar planos infinitos?

Porque todos los vértices son iguales, lo que permite trasladar y repetir el patrón indefinidamente sin dejar huecos ni superposiciones.

¿Cuál es la diferencia entre teselar y decorar el plano?

Teselar implica cubrir el plano con polígonos regulares siguiendo una notación de vértices; decorar permite usar formas libres o curvas que también cubren el plano pero sin una regla geométrica estricta.

Temas y conceptos clave

Teselaciones del planoNotación de configuración de vérticesPolígonos regularesPlanos infinitosTeselaciónNotación de vérticesSuma de ángulos 360°Vértices igualesPeriódico

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (1)

Diseño de teselación con curvas azules entrelazadas que cubren una superficie rectangular. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué significa la notación (3^6) en una teselación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se verifica que una teselación cubre el plano sin huecos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre teselar y decorar el plano?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Suma de ángulos interiores de polígonos
• Ángulos en grados
• Concepto de vértice

Siguiente tema sugerido

Construcción de teselaciones semirregulares con notación de vértices

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1318 caracteres

—iQuées esto?

—Son los diseños. Por ejemplo (3°) quiere decir que en cada vértice hay 6 triángulos; o, en otro ejemplo más complicado, $(3^{2},4,3,4)$ , quiere decir que en cada vértice hay 2 triángulos, 1cuadrado, 1 triángulo y 1 cuadrado, como se ve en el diseño marcado por (3²,4,3,4). Es decir, la notación indica cómo se acomodan las figuras alrededor de cada vértice para sumar 360° y que no se amontonen alrededor de ningún vértice, pues, además,todos los vértices son iguales y...

—Sí, sí, eso ya lo vi, pero le dije "planos", y queria decir "planos infinitos", grandotes, interminables, etcétera, no estos rectangulitos.

—No se enoje y déjeme explicarle: éstas sólo son muestras, pues cargar con los planos completos es muy incómodo y muy poco discreto. Pero no se preocupe, con esos dibujos se pueden lenar los planos infinitos, pues todos los vértices son iguales y, por lo tanto,los dibujos se pueden ir "pegando" uno a otro infinitamente; confie en mí.Qué le parecen?

—Sí, así es, sólo que no sabía que eso es lo que queria. Aquí tengo algunas muestras:

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