Ejercicio 1
Rota en 45° sentido horario, la siguiente figura, según el centro de rotación O. (Cuadrado con su diagonal de vértice inferior izquierdo a vértice superior derecho; O es un punto exterior, a la izquierda de la figura.)
- Datos: figura = cuadrado con una diagonal; centro de rotación O exterior; ángulo de giro = 45°, sentido horario.
- Propiedad clave: al rotar, cada punto P se mueve sobre una circunferencia de centro O, de modo que OP' = OP y \angle POP' = 45^\circ. La forma y el tamaño no cambian: la imagen es congruente con la figura original.
- Coloco O como origen de coordenadas. Para un giro de 45^\circ en sentido horario: x' = x\cos 45^\circ + y\sin 45^\circ, \qquad y' = -x\sin 45^\circ + y\cos 45^\circ
- Como \cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, la regla queda: x' = \tfrac{\sqrt{2}}{2}(x+y), \qquad y' = \tfrac{\sqrt{2}}{2}(y-x)
- Ejemplo de aplicación: tomo el cuadrado de lado 4 ubicado a la derecha de O, con vértices A(4,-2), B(8,-2), C(8,2), D(4,2) y diagonal \overline{AC}.
- A(4,-2) \rightarrow x' = \frac{\sqrt{2}}{2}(2) = \sqrt{2} \approx 1{,}41; y' = \frac{\sqrt{2}}{2}(-6) = -3\sqrt{2} \approx -4{,}24 \;\Rightarrow\; A'(1{,}41;\,-4{,}24)
- B(8,-2) \rightarrow x' = \frac{\sqrt{2}}{2}(6) = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24; y' = \frac{\sqrt{2}}{2}(-10) = -5\sqrt{2} \approx -7{,}07 \;\Rightarrow\; B'(4{,}24;\,-7{,}07)
- C(8,2) \rightarrow x' = \frac{\sqrt{2}}{2}(10) = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07; y' = \frac{\sqrt{2}}{2}(-6) = -3\sqrt{2} \approx -4{,}24 \;\Rightarrow\; C'(7{,}07;\,-4{,}24)
- D(4,2) \rightarrow x' = \frac{\sqrt{2}}{2}(6) = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24; y' = \frac{\sqrt{2}}{2}(-2) = -\sqrt{2} \approx -1{,}41 \;\Rightarrow\; D'(4{,}24;\,-1{,}41)
- Verificación: OA = \sqrt{4^{2}+2^{2}} = \sqrt{20} y OA' = \sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(3\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{2+18} = \sqrt{20}. Las distancias a O se conservan, por lo tanto el giro es correcto.
- Interpretación geométrica del resultado: los lados del cuadrado, que estaban a 0^\circ y 90^\circ, quedan a 45^\circ y -45^\circ (inclinados). La diagonal, que estaba a 45^\circ, queda horizontal (0^\circ). Los cuatro vértices describen arcos de 45^\circ alrededor de O.
Respuesta
La figura girada es un cuadrado congruente con el original (mismo lado y misma diagonal), ubicado en la posición que resulta de hacer girar cada vértice 45^\circ en sentido horario alrededor de O; sus lados quedan inclinados 45^\circ y su diagonal queda horizontal.
