Completar la Tabla 5 (Intervalo, Aceleración como pendiente, Distancia recorrida como área, Posición y Tipo de movimiento) tomando el Gráfico 1.

a = v/ t, x = área bajo v(t), x_f = x_0 + x_i

Escribir la información que corresponde tomando en cuenta el Gráfico 1: posición final, distancia total, intervalo de mayor distancia, velocidad media a los 6 s, tiempo en reposo y tiempo de retroceso.

x_f = x_0 + x_i; d = | x_i|; v_m = x(6)-x_0/6; t_rep= t|_v=0; t_ret= t|_v<0

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Cálculo de variables cinemáticas a partir del gráfico de velocidad (Gráfico 1)

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Respuesta rápida

Tabla 5: a = Δv/Δt, distancia = área bajo v(t), posición acumulada con signo. b) $x_f$ = ΣΔx; distancia = Σ|Δx|; mayor distancia = mayor área; $v_med$ = [x(6)-x₀]/6 s; reposo: duración con v=0; retroceso: duración con v<0.

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Solución — Página 14

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 1

(Tabla 5: cálculo de variables)

Completar la tabla por intervalos de tiempo tomando el Gráfico 1 (curva de velocidad vs. tiempo) de la página anterior.

Columna INTERVALO: se dividen los segmentos del eje $t$ donde la gráfica cambia de comportamiento (p. ej. $0 ext{-}2 ext{ s}$ , $2 ext{-}4 ext{ s}$ , $4 ext{-}6 ext{ s}$ , …), hasta completar las cinco filas disponibles.
Columna ACELERACIÓN (pendiente): en cada intervalo se calcula la pendiente de la recta: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{f} - v_{i}}{t_{f} - t_{i}}$ Si la gráfica es horizontal, $a=0$ ; si sube, $a>0$ (aceleración); si baja, $a<0$ (desaceleración o retroceso).
Columna DISTANCIA RECORRIDA (área): se calcula el área bajo la curva $v(t)$ en ese intervalo. Si es rectángulo: $A = v \cdot \Delta t$ . Si es triángulo: $A = \frac{v_{i}+v_{f}}{2}\,\Delta t$ (área de un trapecio). Unidades: $\text{m}$ .
Columna POSICIÓN: se acumula el desplazamiento con signo desde $x_{0}$ : $x(t_{f}) = x(t_{i}) + \Delta x_{\text{intervalo}}$
Columna TIPO DE MOVIMIENTO: se clasifica según $a$ y $v$ :

$v>0, a=0$ : movimiento rectilíneo uniforme (MRU).
$v>0, a>0$ : MRUV acelerado.
$v>0, a<0$ : MRUV retardado.
$v=0$ : reposo.
$v<0$ : movimiento en sentido contrario (retroceso).

Respuesta

tabla llena con $a=\Delta v/\Delta t$ , $\Delta x=\text{área bajo }v(t)$ , posición acumulada y la clasificación correspondiente de cada tramo.

Ejercicio 2

(parte b: información a partir del Gráfico 1)

Para cada casilla se aplica el procedimiento indicado (los valores numéricos se obtienen del Gráfico 1, que está en la página anterior).

Parte 2.a

La posición final de la partícula

Se suma algebraicamente (con signo) todas las áreas entre la curva $v(t)$ y el eje $t$ : $x_{f} = x_{0} + \sum \Delta x_{i}$ Las áreas por encima del eje $t$ aportan $+$ y las de abajo, $-$ .

Respuesta

$x_{f} = x_{0} + (A_{1}+A_{2}+\dots)$ , con signo según el sentido de $v$ .

Parte 2.b

La distancia total recorrida

Se suman los valores absolutos de cada área:

Respuesta

$d_{\text{total}} = \sum |A_{i}|$ (siempre positiva, a diferencia del desplazamiento).

Parte 2.c

El intervalo donde recorrió mayor distancia

Se compara el valor de cada área $|A_i|$ calculada en la Tabla 5 y se elige el mayor.

Respuesta

el intervalo cuyo área bajo la curva $v(t)$ sea mayor, $\max(|A_{i}|)$ .

Parte 2.d

La velocidad media a los 6 segundos

$v_{m} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(6\text{ s}) - x(0)}{6\text{ s} - 0}$

Respuesta

$v_{m} = \dfrac{x(6\text{ s}) - x_{0}}{6\text{ s}}$ .

Parte 2.e

El tiempo que permaneció en reposo

Se identifican los tramos donde la gráfica toca el eje $t$ ( $v=0$ ) y se suma su duración.

Respuesta

$t_{\text{reposo}} = \sum \Delta t \;\text{con}\; v=0$ .

Parte 2.f

El tiempo que el vehículo realizó un retroceso

Es la duración total de los tramos con velocidad negativa ( $v<0$ , área por debajo del eje $t$ ).

Nota de integridad: el Gráfico 1 no aparece en esta página, por lo que no se dan cifras numéricas; se entrega el procedimiento exacto para obtenerlas.

Respuesta

$t_{\text{retroceso}} = \sum \Delta t \;\text{con}\; v<0$ .

Contenido de la página

Tabla 5: Cálculo de variables

INTERVALO	ACELERACIÓN (PENDIENTE)	DISTANCIA RECORRIDA (ÁREA)	POSICIÓN	TIPO DE MOVIMIENTO
$t_{i}$ – $t_{f}$	$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x=\text{área}$	$x_{f}=x_{i}+\Delta x$	MRU / MRUV / reposo / retroceso

b) Escribo la información que corresponda, tomando en cuenta el Gráfico 1. Realizo los cálculos que sean necesarios.

Pregunta	Procedimiento
La posición final de la partícula.	$x_{f}=x_{0}+\sum \Delta x_{i}$ (áreas con signo)
La distancia total recorrida.	$d=\sum \|\Delta x_{i}\|$
El intervalo donde recorrió mayor distancia.	mayor valor de $\|\Delta x_{i}\|$
La velocidad media a los 6 segundos.	$v_{m}=\dfrac{x(6)-x(0)}{6\ \text{s}}$
El tiempo que permaneció en reposo.	duración de los tramos con $v=0$
El tiempo que el vehículo realizó un retroceso.	duración de los tramos con $v<0$

Nota: el Gráfico 1 no se muestra en esta página; los valores numéricos se toman de la página anterior.

Ejemplos resueltos

En un tramo de 2 s la velocidad pasa de 4 m/s a 10 m/s. ¿Cuál es la aceleración y el desplazamiento?

Aceleración (pendiente): $a=\frac{10-4}{2}=\frac{6}{2}=3\ \text{m/s}^{2}$ . 2. Desplazamiento (área del trapecio): $\Delta x=\frac{4+10}{2}\times 2=14\ \text{m}$ . Respuesta: $a=3\ \text{m/s}^{2}$ , $\Delta x=14\ \text{m}$ .

Tablas (2)

INTERVALO	ACELERACIÓN (PENDIENTE)	DISTANCIA RECORRIDA (ÁREA)	POSICIÓN	TIPO DE MOVIMIENTO
$t_1$ – $t_2$	$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x=\text{área}$	$x_2=x_1+\Delta x$	MRU / MRUV / reposo / retroceso
$t_2$ – $t_3$	$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x=\text{área}$	$x_3=x_2+\Delta x$	MRU / MRUV / reposo / retroceso
$t_3$ – $t_4$	$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x=\text{área}$	$x_4=x_3+\Delta x$	MRU / MRUV / reposo / retroceso
$t_4$ – $t_5$	$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x=\text{área}$	$x_5=x_4+\Delta x$	MRU / MRUV / reposo / retroceso
$t_5$ – $t_6$	$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x=\text{área}$	$x_6=x_5+\Delta x$	MRU / MRUV / reposo / retroceso

Dato solicitado	Cálculo
Posición final	$x_f = x_0 + \sum \Delta x_i$
Distancia total	$d = \sum \lvert \Delta x_i \rvert$
Intervalo de mayor distancia	$\max(\lvert \Delta x_i \rvert)$
Velocidad media a los 6 s	$v_m = \dfrac{x(6\,\text{s}) - x_0}{6\,\text{s}}$
Tiempo en reposo	$\sum \Delta t$ con $v = 0$
Tiempo de retroceso	$\sum \Delta t$ con $v < 0$

Diagrama

graph LR
  A[Gráfico v-t] --> B[Pendiente → aceleración a = Δv/Δt]
  A --> C[Área bajo la curva → desplazamiento Δx]
  B --> D[Tipo de movimiento]
  C --> E[Posición x_f = x_0 + ΣΔx]
  C --> F[Distancia d = Σ|Δx|]

Fórmulas y ecuaciones

Aceleración = pendiente de la gráfica v–t: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

Desplazamiento = área bajo la gráfica v–t: $\Delta x=\text{área}$

Velocidad media: $v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

a = $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ = $\frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$

$\Delta$ x = $\int_{t_i}^{t_f}$ $v(t)\,dt$ = $\text{área bajo la curva }$ v(t)

$x_f$ = $x_0$ + $\sum$ $\Delta$ $x_i$

d = $\sum$ $|\Delta$ $x_i|$

$v_m$ = $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ = $\frac{x(6\,\text{s}) - x_0}{6\,\text{s}}$

Glosario (6)

Aceleración (pendiente): Varición de la velocidad por unidad de tiempo; en un gráfico v–t corresponde a la pendiente de la curva, $a=\Delta v/\Delta t$.
Área bajo la curva: Región comprendida entre la gráfica de velocidad y el eje de tiempos; su valor equivale al desplazamiento del móvil.
Distancia recorrida: Longitud total de la trayectoria, siempre positiva; se obtiene sumando los valores absolutos de los desplazamientos.
Velocidad media: Cociente entre el desplazamiento total y el tiempo transcurrido, $v_{m}=\Delta x/\Delta t$.
Reposo: Estado en el que la velocidad es nula, $v=0$, y la posición no cambia.
Retroceso: Movimiento en el sentido contrario al elegido como positivo, representado por velocidades negativas ($v<0$).

Preguntas para practicar

¿Por qué la distancia total recorrida puede ser mayor que el valor absoluto del desplazamiento?

Porque la distancia suma el recorrido con valor absoluto en cada tramo, mientras que el desplazamiento suma con signo; si el móvil cambia de sentido (retrocede), los tramos de sentido negativo se cancelan parcialmente en el desplazamiento pero se suman en la distancia, por lo que d ≥ |Δx|.

¿Qué indica que la gráfica de velocidad sea horizontal y qué tipo de movimiento representa?

Una recta horizontal significa pendiente nula, es decir aceleración a = 0; la velocidad es constante, por lo que el móvil realiza un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y el área bajo la curva es un rectángulo Δx = v·Δt.

¿Cómo se distingue en el gráfico v–t si el vehículo está en reposo o si va en retroceso?

Está en reposo cuando la curva toca el eje de tiempos (v = 0) y la posición no cambia; va en retroceso cuando la curva queda por debajo del eje (v < 0), lo que produce áreas negativas y una disminución de la posición.

Temas y conceptos clave

Cinemática: gráficos velocidad–tiempoAceleración como pendienteDesplazamiento como área bajo la curvaDistancia vs. desplazamientoVelocidad mediaReposo y movimiento retrogradopendiente = aceleraciónárea bajo v(t) = desplazamientodistancia total = Σ|áreas|velocidad mediareposo (v=0)retroceso (v<0)tipo de movimiento

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