Fuerza magnética sobre un electrón en un cinescopio

Determino la fuerza magnética sobre el electrón con \(\theta = 60^{\circ}\).

1. Fórmula de la fuerza de Lorentz (magnitud): (F = |q| \, v \, B \, \sin\theta\).
2. Sustituyo los valores: (F = (1{,}6 \times 10^{-19} \, \text{C})(10 \times 10^{6} \, \text{m/s})(0{,}030 \, \text{T})\sin 60^{\circ}\).
3. Multiplico rapidez por campo: (v \cdot B = 10^{7} \times 0{,}030 = 3 \times 10^{5} \, \text{m/s} \cdot \text{T}).
4. Multiplico por la carga: (q \cdot v \cdot B = 1{,}6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^{5} = 4{,}8 \times 10^{-14} \, \text{N}).
5. Multiplico por \(\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866): (F = 4{,}8 \times 10^{-14} \times 0{,}866 = 4{,}16 \times 10^{-14} \, \text{N}).
6. Por la regla de la mano derecha (con carga negativa, la fuerza va en sentido inverso), la fuerza es perpendicular al plano definido por (\vec{v}) y (\vec{B}), es decir, apunta en la dirección (\hat{z}) negativa (hacia afuera de la pantalla o hacia el techo, según la convención). Magnitud: (4{,}16 \times 10^{-14} \, \text{N}).

Determino la fuerza si el ángulo es \(30^{\circ}\).

1. Fórmula: (F = |q| \, v \, B \, \sin\theta\).
2. Sustituyo: (F = (1{,}6 \times 10^{-19})(10 \times 10^{6})(0{,}030)\sin 30^{\circ}\).
3. El producto (q \cdot v \cdot B) es el mismo que en el ítem a): (4{,}8 \times 10^{-14} \, \text{N}).
4. Multiplico por \(\sin 30^{\circ} = 0{,}5): (F = 4{,}8 \times 10^{-14} \times 0{,}5 = 2{,}4 \times 10^{-14} \, \text{N}).

Indico y respondo cuánto debe ser el ángulo para que la fuerza sea máxima.

1. La fuerza depende de \(\sin\theta\) mediante (F = |q| \, v \, B \, \sin\theta\).
2. El valor máximo de \(\sin\theta\) es (1), alcanzado cuando \(\theta = 90^{\circ}\).
3. En ese caso el campo magnético es perpendicular a la velocidad del electrón.
4. La fuerza máxima vale: \(F_{\text{max}} = |q| \, v \, B = (1{,}6 \times 10^{-19})(10^{7})(0{,}030) = 4{,}8 \times 10^{-14} \, \text{N}).